与えられた式 $x^4 + x^2 + 1$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 + x^2 + 1$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式は、$x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$ と変形することで、平方の差の形に持ち込むことができます。

まず、$x^4 + x^2 + 1$ に $x^2$ を加えて $2x^2$ にし、その分 $x^2$ を引きます。

$x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$

$x^4 + 2x^2 + 1$ は $(x^2 + 1)^2$ と因数分解できます。したがって、

$x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - x^2$

これは $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の形の平方の差の公式を利用できます。ここで、$A = x^2 + 1$、$B = x$ と考えると、

$(x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x)$

通常は、$x$ の次数の高い順に項を並べるので、

$(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$