与えられた4次式 $x^4 - 9x^2 + 16$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた4次式 $x^4 - 9x^2 + 16$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x^2$ に関する2次式と見て、平方完成を試みる。

$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^2)^2 - 9x^2 + 16$

$x^4 + 8x^2 + 16 - 17x^2$としても因数分解はできない。

$x^4 - 8x^2 + 16 - x^2$と変形することを考える。

すると、

$x^4 - 8x^2 + 16 - x^2 = (x^2 - 4)^2 - x^2$

これは $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形であるから、

$(x^2 - 4)^2 - x^2 = (x^2 - 4 + x)(x^2 - 4 - x)$

$= (x^2 + x - 4)(x^2 - x - 4)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + x - 4)(x^2 - x - 4)$