与えられた式 $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与式を平方の差の形に変形するために、$x^4 + 2x^2y^2 + y^4$ を作り、$2x^2y^2$ と $-11x^2y^2$ の差を調整します。

$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 13x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - 13x^2y^2$

次に、平方の差の形にするために、係数が平方数になるようにします。

$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 13x^2y^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 9x^2y^2 = (x^2 - y^2)^2 - (3xy)^2$

ここで、平方の差の公式 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ を用います。

$(x^2 - y^2)^2 - (3xy)^2 = (x^2 - y^2 - 3xy)(x^2 - y^2 + 3xy)$

整理すると、

$(x^2 - 3xy - y^2)(x^2 + 3xy - y^2)$

3. 最終的な答え

$(x^2 - 3xy - y^2)(x^2 + 3xy - y^2)$