与えられた多項式 $x^2 + 2ax - 3a^2 + 4x + 8a + 3$ を因数分解する。

代数学因数分解多項式二次式
2025/4/30

1. 問題の内容

与えられた多項式 x2+2ax3a2+4x+8a+3x^2 + 2ax - 3a^2 + 4x + 8a + 3 を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、xxに関する項をまとめると、
x2+(2a+4)x3a2+8a+3x^2 + (2a + 4)x - 3a^2 + 8a + 3
となる。
次に、xx の係数が 2a+42a+4 であり、定数項が 3a2+8a+3-3a^2 + 8a + 3 であることに注意して、因数分解できる形 (x+A)(x+B)(x + A)(x + B) を探す。A+B=2a+4A + B = 2a + 4 かつ AB=3a2+8a+3AB = -3a^2 + 8a + 3 となる AABB を見つけることを目指す。
3a2+8a+3=(3a28a3)=(3a+1)(a3)-3a^2 + 8a + 3 = -(3a^2 - 8a - 3) = -(3a + 1)(a - 3) である。
ここで、A=3aA = 3 - aB=3a+1B = 3a + 1 とすると、
A+B=(3a)+(3a+1)=2a+4A + B = (3 - a) + (3a + 1) = 2a + 4
AB=(3a)(3a+1)=3a2+8a+3AB = (3 - a)(3a + 1) = -3a^2 + 8a + 3
したがって、A=3aA = 3 - aB=3a+1B = 3a + 1 でよい。
以上より、x2+(2a+4)x3a2+8a+3=(x+3a)(x+3a+1)x^2 + (2a + 4)x - 3a^2 + 8a + 3 = (x + 3 - a)(x + 3a + 1) と因数分解できる。

3. 最終的な答え

(xa+3)(x+3a+1)(x - a + 3)(x + 3a + 1)

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