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$x^4 + 4y^4$ を因数分解してください。

代数学因数分解多項式ソフィ・ジェルマン恒等式
2025/4/29

1. 問題の内容

x4+4y4x^4 + 4y^4 を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式はソフィ・ジェルマン恒等式と呼ばれるものを用いると因数分解できます。まず、以下の形に変形します。
x4+4y4=x4+4x2y2+4y4−4x2y2x^4 + 4y^4 = x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4 - 4x^2y^2
=(x2+2y2)2−(2xy)2= (x^2 + 2y^2)^2 - (2xy)^2
ここで、A2−B2=(A+B)(A−B)A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) の公式を用いて因数分解します。
(x2+2y2)2−(2xy)2=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2−2xy)(x^2 + 2y^2)^2 - (2xy)^2 = (x^2 + 2y^2 + 2xy)(x^2 + 2y^2 - 2xy)
=(x2+2xy+2y2)(x2−2xy+2y2)= (x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2xy + 2y^2)

3. 最終的な答え

(x2+2xy+2y2)(x2−2xy+2y2)(x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2xy + 2y^2)

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