$xy$平面において、不等式 $3x^2 + 7xy + 2y^2 - 9x - 8y + 6 \le 0$ の表す領域を$D$とする。 (1) 領域$D$を$xy$平面上に図示せよ。 (2) 点$(x, y)$が領域$D$を動くとき、$x^2 + y^2$ の最小値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いて回答します。

1. 問題の内容

$xy$平面において、不等式 $3x^2 + 7xy + 2y^2 - 9x - 8y + 6 \le 0$ の表す領域を$D$とする。

(1) 領域$D$を$xy$平面上に図示せよ。

(2) 点$(x, y)$が領域$D$を動くとき、$x^2 + y^2$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $3x^2 + 7xy + 2y^2 - 9x - 8y + 6 \le 0$ を因数分解する。

$3x^2 + (7y - 9)x + (2y^2 - 8y + 6) \le 0$

$3x^2 + (7y - 9)x + 2(y - 1)(y - 3) \le 0$

$(3x + y - 3)(x + 2y - 2) \le 0$

したがって、この不等式が表す領域$D$は、

$3x + y - 3 \ge 0$ かつ $x + 2y - 2 \le 0$、または $3x + y - 3 \le 0$ かつ $x + 2y - 2 \ge 0$ を満たす領域である。

これは、2直線 $3x + y - 3 = 0$ と $x + 2y - 2 = 0$ で区切られた領域を表す。

(2) $x^2 + y^2 = k$ とおくと、$k$は原点を中心とする円の半径の2乗を表す。

したがって、$x^2 + y^2$ が最小となるのは、領域$D$に含まれる円が最小の半径を持つ時である。

これは、$x^2 + y^2 = k$ の円が2直線 $3x + y - 3 = 0$ と $x + 2y - 2 = 0$ の交点を通るときに、$k$が最小となると考えられる。

2直線の交点を求めると、

$3x + y = 3$

$x + 2y = 2$

この連立方程式を解くと、

$6x + 2y = 6$

$x + 2y = 2$

$5x = 4$

$x = \frac{4}{5}$

$3(\frac{4}{5}) + y = 3$

$y = 3 - \frac{12}{5} = \frac{15 - 12}{5} = \frac{3}{5}$

交点は$(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

交点$(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ における $x^2 + y^2$ の値は、 $(\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1$

次に、$3x + y - 3 = 0$ と $x^2+y^2 = k$ が接する場合を考える。

$y = -3x + 3$を $x^2+y^2 = k$ に代入すると

$x^2 + (-3x+3)^2 = k$

$x^2 + 9x^2 -18x + 9 = k$

$10x^2 - 18x + 9 - k = 0$

判別式 $D = (-18)^2 - 4(10)(9-k) = 324 - 360 + 40k = 40k - 36 = 0$

$k = \frac{36}{40} = \frac{9}{10} = 0.9$

次に、$x + 2y - 2 = 0$ と $x^2+y^2 = k$ が接する場合を考える。

$x = -2y + 2$を $x^2+y^2 = k$ に代入すると

$(-2y+2)^2 + y^2 = k$

$4y^2 -8y + 4 + y^2 = k$

$5y^2 - 8y + 4 - k = 0$

判別式 $D = (-8)^2 - 4(5)(4-k) = 64 - 80 + 20k = 20k - 16 = 0$

$k = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0.8$

(1) で求めた領域 D の図と、答えを比較すると、$x = 2/5, y=4/5$のとき、最小値 $4/5$となる。

3. 最終的な答え

$x = \frac{2}{5}, y = \frac{4}{5}$ のとき最小値 $\frac{4}{5}$