複素数$\alpha$、$\beta$について、$\alpha\overline{\beta} + \overline{\alpha}\beta$ が実数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

複素数$\alpha$、$\beta$について、$\alpha\overline{\beta} + \overline{\alpha}\beta$ が実数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ が実数であるための必要十分条件は $z = \overline{z}$ であることを利用します。

与えられた複素数 $\alpha\overline{\beta} + \overline{\alpha}\beta$ が実数であることを示すためには、その共役複素数が元の複素数と等しいことを示せば良いです。

与えられた複素数の共役複素数を計算します。

$$\overline{\alpha\overline{\beta} + \overline{\alpha}\beta} = \overline{\alpha\overline{\beta}} + \overline{\overline{\alpha}\beta}$$

共役複素数の性質 $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ と $\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \overline{z_2}$ を使いました。

さらに、$\overline{\overline{z}} = z$ を使うと

$$\overline{\alpha\overline{\beta} + \overline{\alpha}\beta} = \overline{\alpha} \overline{\overline{\beta}} + \overline{\overline{\alpha}} \overline{\beta} = \overline{\alpha}\beta + \alpha\overline{\beta}$$

したがって、

$$\overline{\alpha\overline{\beta} + \overline{\alpha}\beta} = \alpha\overline{\beta} + \overline{\alpha}\beta$$

つまり、与えられた複素数 $\alpha\overline{\beta} + \overline{\alpha}\beta$ はその共役複素数と等しいので、実数であると言えます。

3. 最終的な答え

$\alpha\overline{\beta} + \overline{\alpha}\beta$ は実数である。