与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を因数分解または簡略化すること。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を因数分解または簡略化すること。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

次に、この式を整理して因数分解します。

与えられた式は、対称式であることに注目します。そこで、$a,b,c$ に関する基本的な対称式を使って整理することを考えます。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

この式が正しいことを証明するために、右辺を展開してみます。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+ac+b^2+bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

ここで元の式に戻り、

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = (a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc) + abc = (a+b)(b+c)(c+a) + abc$

ただし、この変形は間違いです。正しい変形は以下のようになります。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

$= a^2b + ab^2 + abc + b^2c + bc^2 + abc + c^2a + ca^2 + abc$

$= ab(a+b+c) + bc(a+b+c) + ca(a+b+c)$

$= (a+b+c)(ab+bc+ca)$

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$