与えられた3つの式を因数分解する問題です。ここでは3番目の式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた3つの式を因数分解する問題です。ここでは3番目の式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理して因数分解します。

まず、式を展開します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

次に、式を整理します。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + 2abc + ac^2 + b^2c + bc^2 + abc$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + 2bc + c^2) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

共通因数 $(b+c)$ でくくります。

$= (b+c)(a^2 + a(b+c) + bc)$

$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

さらに、かっこの中身を因数分解します。

$a^2 + ab + ac + bc = a(a+b) + c(a+b) = (a+b)(a+c)$

したがって、全体の式は次のようになります。

$(b+c)(a+b)(a+c)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$