二つの二次方程式 $x^2 + 2ax + a + 2 = 0$ と $x^2 + (a - 1)x + a^2 = 0$ が与えられています。 (1) この二つの二次方程式がともに虚数解を持つときの $a$ の値の範囲を求めます。 (2) この二つの二次方程式のどちらか一方だけが虚数解を持つときの $a$ の値の範囲を求めます。

はい、承知いたしました。与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

二つの二次方程式 $x^2 + 2ax + a + 2 = 0$ と $x^2 + (a - 1)x + a^2 = 0$ が与えられています。

(1) この二つの二次方程式がともに虚数解を持つときの $a$ の値の範囲を求めます。

(2) この二つの二次方程式のどちらか一方だけが虚数解を持つときの $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 二つの二次方程式がともに虚数解を持つ場合

それぞれの判別式を計算し、それが両方とも負になる条件を求めます。

一つ目の二次方程式 $x^2 + 2ax + a + 2 = 0$ の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (2a)^2 - 4(a + 2) = 4a^2 - 4a - 8 = 4(a^2 - a - 2) = 4(a - 2)(a + 1)$

二つ目の二次方程式 $x^2 + (a - 1)x + a^2 = 0$ の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (a - 1)^2 - 4a^2 = a^2 - 2a + 1 - 4a^2 = -3a^2 - 2a + 1 = -(3a - 1)(a + 1)$

二つの二次方程式がともに虚数解を持つためには、$D_1 < 0$ かつ $D_2 < 0$ が必要です。

$D_1 < 0$ より、 $4(a - 2)(a + 1) < 0$ したがって、$-1 < a < 2$

$D_2 < 0$ より、 $-(3a - 1)(a + 1) < 0$ したがって、$(3a - 1)(a + 1) > 0$

よって、$a < -1$ または $a > \frac{1}{3}$

上記二つの条件を満たす範囲は、$\frac{1}{3} < a < 2$

(2) どちらか一方だけが虚数解を持つ場合

$D_1 < 0$ かつ $D_2 \geq 0$ または $D_1 \geq 0$ かつ $D_2 < 0$ を満たす必要があります。

(i) $D_1 < 0$ かつ $D_2 \geq 0$ のとき

$-1 < a < 2$ かつ $-1 \leq a \leq \frac{1}{3}$

したがって、$-1 < a \leq \frac{1}{3}$

(ii) $D_1 \geq 0$ かつ $D_2 < 0$ のとき

$a \leq -1$ または $a \geq 2$ かつ $a < -1$ または $a > \frac{1}{3}$

したがって、$a > 2$ または $a<-1$ は存在しないので、$a \geq 2$または$a<\frac{1}{3}$

したがって、$a > 2$または$a<-1$ かつ$a > \frac{1}{3}$。

したがって、 $a \geq 2$

したがって、求める範囲は、$a > 2$.

一つは、$D_1 <0$ かつ $D_2 \ge 0$ のとき。$-1 < a < 2$ かつ $-1 \le a \le \frac{1}{3}$なので $-1 < a \le \frac{1}{3}$。

もう一つは、$D_1 \ge 0$ かつ $D_2 < 0$ のとき。($a \le -1$ または $a \ge 2$) かつ ($a < -1$ または $a > \frac{1}{3}$)なので、$a = -1$

$D_1 \geq 0$ のとき、$a \le -1$ または $a \ge 2$

$D_2 \geq 0$ のとき、$-1 \le a \le \frac{1}{3}$

$D_1<0$, $D_2>0$の時、 $-1 < a \le \frac{1}{3}$.

$D_1>0$, $D_2<0$の時、$a \ge 2$。

よって、$a= -1$

$a > 2$のときのみ

よって$\frac{1}{3} \le a <2$

よって$a=-1$

よって答えは、$a= -1$と$2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3} < a < 2$

(2) $-1 < a \leq \frac{1}{3}$　または　$a \geq 2$