与えられた数列の和を求める問題です。数列は $1 \cdot 2 \cdot 3, 2 \cdot 3 \cdot 4, 3 \cdot 4 \cdot 5, \dots, n(n+1)(n+2)$ であり、この数列の第$n$項までの和を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は $1 \cdot 2 \cdot 3, 2 \cdot 3 \cdot 4, 3 \cdot 4 \cdot 5, \dots, n(n+1)(n+2)$ であり、この数列の第$n$項までの和を求めます。

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項を $a_k = k(k+1)(k+2)$ と表します。

次に、和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)$ を計算します。

$k(k+1)(k+2) = k(k^2 + 3k + 2) = k^3 + 3k^2 + 2k$ であるので、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + 3k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k$

ここで、

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

を用いると、

$S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1)$

$= \frac{n(n+1)}{4} [n(n+1) + 2(2n+1) + 4]$

$= \frac{n(n+1)}{4} [n^2 + n + 4n + 2 + 4]$

$= \frac{n(n+1)}{4} [n^2 + 5n + 6]$

$= \frac{n(n+1)}{4} (n+2)(n+3)$

$= \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$