与えられた式 $(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$ を展開し、簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$ を展開し、簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x+y)(x-y)$ を計算します。これは和と差の積の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用して、$x^2 - y^2$ となります。

$$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$$

次に、$(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$ を計算します。これは、$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ の形とみることができます。ここで $A=x^2+y^2$、 $B=xy$ とすると、

$$(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2) = ((x^2+y^2) + xy)((x^2+y^2) - xy) = (x^2+y^2)^2 - (xy)^2$$

$$= x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2 = x^4 + x^2y^2 + y^4$$

したがって、

$$(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2) = x^4 + x^2y^2 + y^4$$

最後に、$(x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$ を計算します。これは、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ の公式を利用することができます。

$(x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4) = (x^2)^3 - (y^2)^3 = x^6 - y^6$

3. 最終的な答え

$x^6 - y^6$