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$x^2 + y^2$ の値を計算する問題です。 ただし、$x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}$、$y = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{2}$ です。

代数学式の計算平方根展開
2025/4/29

1. 問題の内容

x2+y2x^2 + y^2 の値を計算する問題です。
ただし、x=3+52x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}、y=3−52y = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{2} です。

2. 解き方の手順

まず、x2x^2 と y2y^2 をそれぞれ計算します。
x2=(3+52)2=(3+5)24=3+215+54=8+2154=2+152x^2 = (\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2}{4} = \frac{3 + 2\sqrt{15} + 5}{4} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{4} = 2 + \frac{\sqrt{15}}{2}
y2=(3−52)2=(3−5)24=3−215+54=8−2154=2−152y^2 = (\frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{5})^2}{4} = \frac{3 - 2\sqrt{15} + 5}{4} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{4} = 2 - \frac{\sqrt{15}}{2}
次に、x2+y2x^2 + y^2 を計算します。
x2+y2=(2+152)+(2−152)=2+2=4x^2 + y^2 = (2 + \frac{\sqrt{15}}{2}) + (2 - \frac{\sqrt{15}}{2}) = 2 + 2 = 4

3. 最終的な答え

x2+y2=4x^2 + y^2 = 4

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