与えられた式 $(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$ を簡略化してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$ を簡略化してください。

2. 解き方の手順

まず、$(x+y)(x-y)$ を計算します。これは差の平方の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用して $x^2 - y^2$ となります。

$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$

次に、$(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$ を計算します。これは次のように変形できます。

$(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)$

ここで、$A = x^2+y^2$ とおくと、$(A+xy)(A-xy)$ となります。これも差の平方の公式を使って、$A^2 - (xy)^2$ となります。

$A^2 - (xy)^2 = (x^2+y^2)^2 - (xy)^2$

$= (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - x^2y^2$

$= x^4 + x^2y^2 + y^4$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$(x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

これは、$x^6 - y^6$ の因数分解の形 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ に似ています。

実際、$x^6 - y^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3$ なので、

$(x^2 - y^2)((x^2)^2 + x^2y^2 + (y^2)^2) = (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

となります。

したがって、与えられた式は $x^6 - y^6$ に等しくなります。

3. 最終的な答え

$x^6 - y^6$