$(x+y)^3 (x-y)^3$ を展開せよ。

1. 問題の内容

$(x+y)^3 (x-y)^3$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x+y)^3$ と $(x-y)^3$ をそれぞれ展開する。

$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

$(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

次に、これらの結果を掛け合わせる。

$(x+y)^3 (x-y)^3 = (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3)(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3)$

ここで、$A = x^3 + 3xy^2$ 、$B = 3x^2y + y^3$ とおくと、

$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ となる。

よって、

$(x+y)^3 (x-y)^3 = (x^3 + 3xy^2)^2 - (3x^2y + y^3)^2$

$= (x^6 + 6x^4y^2 + 9x^2y^4) - (9x^4y^2 + 6x^2y^4 + y^6)$

$= x^6 + 6x^4y^2 + 9x^2y^4 - 9x^4y^2 - 6x^2y^4 - y^6$

$= x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6$

別の解法として、

$(x+y)^3(x-y)^3 = ((x+y)(x-y))^3 = (x^2-y^2)^3$

$(x^2-y^2)^3 = (x^2)^3 - 3(x^2)^2(y^2) + 3(x^2)(y^2)^2 - (y^2)^3$

$= x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6$

3. 最終的な答え

$x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6$