問題10 (1) $x = 8 - 4\sqrt{3}$ を解にもつ有理数係数の2次方程式を作ること。そして、$x = 8 - 4\sqrt{3}$ のとき、$x^3 - 13x^2 - 30x + 32$ の値を求めること。 (2) $x = \frac{3 + 3\sqrt{3}i}{2}$ のとき、$2x^3 - 10x^2 + 16x - 9$ の値を求めること。 問題11 $k$を0と異なる実数の定数、$i$ を虚数単位とする。 等式 $x^2 + (3 + 2i)x + k(2 + i)^2 = 0$ を満たす実数 $x$ が1つ存在するとし、それを$\alpha$ とおく。 (1) $k$ と $\alpha$ の値を求めること。 (2) この等式を満たす複素数 $x$ をすべて求めること。

1. 問題の内容

問題10

(1) $x = 8 - 4\sqrt{3}$ を解にもつ有理数係数の2次方程式を作ること。そして、$x = 8 - 4\sqrt{3}$ のとき、$x^3 - 13x^2 - 30x + 32$ の値を求めること。

(2) $x = \frac{3 + 3\sqrt{3}i}{2}$ のとき、$2x^3 - 10x^2 + 16x - 9$ の値を求めること。

問題11

$k$を0と異なる実数の定数、$i$ を虚数単位とする。

等式 $x^2 + (3 + 2i)x + k(2 + i)^2 = 0$ を満たす実数 $x$ が1つ存在するとし、それを$\alpha$ とおく。

(1) $k$ と $\alpha$ の値を求めること。

(2) この等式を満たす複素数 $x$ をすべて求めること。

2. 解き方の手順

問題10

(1) $x = 8 - 4\sqrt{3}$ より、$x - 8 = -4\sqrt{3}$。

両辺を2乗すると、$(x - 8)^2 = (-4\sqrt{3})^2$。

$x^2 - 16x + 64 = 16 \times 3 = 48$。

よって、$x^2 - 16x + 16 = 0$。

次に、$x^3 - 13x^2 - 30x + 32$ を $x^2 - 16x + 16$ で割る。

筆算を実行すると、

$x^3 - 13x^2 - 30x + 32 = (x^2 - 16x + 16)(x + 3) + 2$

$x = 8 - 4\sqrt{3}$ のとき、$x^2 - 16x + 16 = 0$ なので、

$x^3 - 13x^2 - 30x + 32 = 0 \times (x+3) + 2 = 2$。

(2) $x = \frac{3 + 3\sqrt{3}i}{2}$ より、$2x = 3 + 3\sqrt{3}i$。

$2x - 3 = 3\sqrt{3}i$。

両辺を2乗すると、$(2x - 3)^2 = (3\sqrt{3}i)^2$。

$4x^2 - 12x + 9 = 9 \times 3 \times (-1) = -27$。

$4x^2 - 12x + 36 = 0$。

$x^2 - 3x + 9 = 0$。

次に、$2x^3 - 10x^2 + 16x - 9$ を $x^2 - 3x + 9$ で割る。

筆算を実行すると、

$2x^3 - 10x^2 + 16x - 9 = (x^2 - 3x + 9)(2x - 4) - 3$

$x = \frac{3 + 3\sqrt{3}i}{2}$ のとき、$x^2 - 3x + 9 = 0$ なので、

$2x^3 - 10x^2 + 16x - 9 = 0 \times (2x - 4) - 3 = -3$。

問題11

(1) $x = \alpha$ は実数なので、与式に代入すると、

$\alpha^2 + (3 + 2i)\alpha + k(2 + i)^2 = 0$。

$\alpha^2 + 3\alpha + 2i\alpha + k(4 + 4i - 1) = 0$。

$\alpha^2 + 3\alpha + 2i\alpha + k(3 + 4i) = 0$。

$(\alpha^2 + 3\alpha + 3k) + (2\alpha + 4k)i = 0$。

$\alpha$ と $k$ は実数なので、

$\alpha^2 + 3\alpha + 3k = 0$ かつ $2\alpha + 4k = 0$。

$2\alpha = -4k$ より、$\alpha = -2k$。

これを $\alpha^2 + 3\alpha + 3k = 0$ に代入すると、

$(-2k)^2 + 3(-2k) + 3k = 0$。

$4k^2 - 6k + 3k = 0$。

$4k^2 - 3k = 0$。

$k(4k - 3) = 0$。

$k \neq 0$ より、$4k - 3 = 0$ なので、$k = \frac{3}{4}$。

$\alpha = -2k = -2 \times \frac{3}{4} = -\frac{3}{2}$。

(2) $k = \frac{3}{4}$ を与式に代入すると、

$x^2 + (3 + 2i)x + \frac{3}{4}(2 + i)^2 = 0$。

$x^2 + (3 + 2i)x + \frac{3}{4}(3 + 4i) = 0$。

$x^2 + (3 + 2i)x + \frac{9}{4} + 3i = 0$。

解の公式より、

$x = \frac{-(3 + 2i) \pm \sqrt{(3 + 2i)^2 - 4(\frac{9}{4} + 3i)}}{2}$。

$x = \frac{-(3 + 2i) \pm \sqrt{9 + 12i - 4 - 9 - 12i}}{2}$。

$x = \frac{-(3 + 2i) \pm \sqrt{-4}}{2}$。

$x = \frac{-(3 + 2i) \pm 2i}{2}$。

$x = \frac{-3 - 2i + 2i}{2} = -\frac{3}{2}$ または $x = \frac{-3 - 2i - 2i}{2} = \frac{-3 - 4i}{2}$。

よって、 $x = -\frac{3}{2}, \frac{-3 - 4i}{2}$。

3. 最終的な答え

問題10

(1) 2次方程式: $x^2 - 16x + 16 = 0$、値: 2

(2) 値: -3

問題11

(1) $k = \frac{3}{4}$, $\alpha = -\frac{3}{2}$

(2) $x = -\frac{3}{2}, \frac{-3 - 4i}{2}$