$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos 2\theta + \sqrt{3}\sin\theta \geq 1$ を満たす $\theta$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos 2\theta + \sqrt{3}\sin\theta \geq 1$ を満たす $\theta$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\theta$ を $\sin\theta$ で表します。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ であるから、与えられた不等式は

$1 - 2\sin^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta \geq 1$

となります。

これを整理すると

$-2\sin^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta \geq 0$

$\sin\theta( -2\sin\theta + \sqrt{3}) \geq 0$

$\sin\theta( 2\sin\theta - \sqrt{3}) \leq 0$

となります。

したがって、

$0 \leq \sin\theta \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$

となります。

$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で $\sin\theta = 0$ となるのは、$\theta = 0, \pi$ のときです。

また、$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ のときです。

よって、$0 \leq \sin\theta \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲は、

$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} \leq \theta \leq \pi$

となります。

3. 最終的な答え

$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3} \leq \theta \leq \pi$