与えられた4次式 $x^4 - 8x^2 - 9$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた4次式 $x^4 - 8x^2 - 9$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

$x^2 = X$ とおくと、与えられた式は $X^2 - 8X - 9$ となる。

これは $X$ に関する2次式なので、まずこれを因数分解する。

$X^2 - 8X - 9 = (X - 9)(X + 1)$

ここで、$X = x^2$ を代入する。

$(x^2 - 9)(x^2 + 1)$

さらに、$x^2 - 9$ は $x^2 - 3^2$ と書けるので、差の平方の公式 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ を用いて因数分解できる。

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

したがって、

$(x^2 - 9)(x^2 + 1) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 1)$

$x^2+1$ は実数の範囲ではこれ以上因数分解できない。

3. 最終的な答え

$(x - 3)(x + 3)(x^2 + 1)$