与えられた式 $(a+b-c)(a-b+c)$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b-c)(a-b+c)$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開する。

$(a+b-c)(a-b+c) = a(a-b+c) + b(a-b+c) -c(a-b+c)$

次に、各項を展開する。

$a(a-b+c) = a^2 - ab + ac$

$b(a-b+c) = ab - b^2 + bc$

$-c(a-b+c) = -ac + bc - c^2$

これらの結果をまとめると、

$(a+b-c)(a-b+c) = a^2 - ab + ac + ab - b^2 + bc - ac + bc - c^2$

同類項を整理する。 $-ab + ab = 0$、$ac - ac = 0$となるので、

$(a+b-c)(a-b+c) = a^2 - b^2 - c^2 + 2bc$

$(a+b-c)(a-b+c) = a^2 - (b^2 + c^2 - 2bc)$

ここで、$b^2 + c^2 - 2bc = (b-c)^2$ なので、

$(a+b-c)(a-b+c) = a^2 - (b-c)^2$

$(b-c)^2 = b^2 -2bc + c^2$ より、

$a^2 - (b-c)^2 = a^2 - (b^2 -2bc + c^2) = a^2 - b^2 + 2bc - c^2$

最終的な形は

$a^2 - b^2 - c^2 + 2bc$

もしくは

$a^2 - (b-c)^2$

3. 最終的な答え

$a^2 - b^2 - c^2 + 2bc = a^2 - (b-c)^2$