問題は、式 $(a+2b)^2 (a^2 - 2ab + 4b^2)^2$ を展開することです。

1. 問題の内容

問題は、式 $(a+2b)^2 (a^2 - 2ab + 4b^2)^2$ を展開することです。

2. 解き方の手順

まず、式 $(a^2 - 2ab + 4b^2)$ を $(a^2 - 2ab + 4b^2) = (a - 2b)^2 + 4ab -4ab + 4b^2 -4b^2= (a^2 - 2ab + 4b^2)$のように変形することはできません。

代わりに、$A=a, B=2b$ と置くと、

$(a+2b)(a^2-2ab+4b^2)=(a+2b)(a^2 -a(2b) + (2b)^2)$

この式は、$A^3+B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$ を満たすので、$A^3+B^3 = a^3 + (2b)^3 = a^3 + 8b^3$となる。

与えられた式は、$(a+2b)^2 (a^2 - 2ab + 4b^2)^2$なので、$[(a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)]^2$ と変形できる。

したがって、

$[(a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)]^2 = (a^3+8b^3)^2 = (a^3)^2 + 2(a^3)(8b^3) + (8b^3)^2$

$= a^6 + 16a^3b^3 + 64b^6$

3. 最終的な答え

$a^6 + 16a^3b^3 + 64b^6$