(1) $2\sqrt{27} - 3\sqrt{12} + \sqrt{54}$ を計算します。 (2) $(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2$ を計算します。 (3) $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{8}}$ の分母を有理化します。

1. 問題の内容

(1) $2\sqrt{27} - 3\sqrt{12} + \sqrt{54}$ を計算します。

(2) $(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2$ を計算します。

(3) $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{8}}$ の分母を有理化します。

2. 解き方の手順

(1) $2\sqrt{27} - 3\sqrt{12} + \sqrt{54}$ の計算

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}$

よって、

$2\sqrt{27} - 3\sqrt{12} + \sqrt{54} = 2(3\sqrt{3}) - 3(2\sqrt{3}) + 3\sqrt{6} = 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

(2) $(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2$ の計算

$(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{6}) + (\sqrt{6})^2 = 3 + 2\sqrt{18} + 6 = 9 + 2\sqrt{9 \times 2} = 9 + 2(3\sqrt{2}) = 9 + 6\sqrt{2}$

(3) $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{8}}$ の分母の有理化

まず、$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$ なので、

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$

分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{2}$をかけます。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} - 1)\sqrt{2}}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{6}$

(2) $9 + 6\sqrt{2}$

(3) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$