1から100までの整数について、以下の個数を求める問題です。 (1) 4と7の少なくとも一方で割り切れる整数の個数 (2) 4でも7でも割り切れない整数の個数 (3) 4で割り切れるが7で割り切れない整数の個数 (4) 4と7の少なくとも一方で割り切れない整数の個数

1. 問題の内容

1から100までの整数について、以下の個数を求める問題です。

(1) 4と7の少なくとも一方で割り切れる整数の個数

(2) 4でも7でも割り切れない整数の個数

(3) 4で割り切れるが7で割り切れない整数の個数

(4) 4と7の少なくとも一方で割り切れない整数の個数

2. 解き方の手順

(1) 4と7の少なくとも一方で割り切れる整数の個数

* 1から100までの整数のうち、4で割り切れる整数の個数を求めます。これは、$\lfloor \frac{100}{4} \rfloor = 25$個です。

* 1から100までの整数のうち、7で割り切れる整数の個数を求めます。これは、$\lfloor \frac{100}{7} \rfloor = 14$個です。

* 4と7の両方で割り切れる整数の個数を求めます。4と7の最小公倍数は28なので、1から100までの整数のうち、28で割り切れる整数の個数を求めます。これは、$\lfloor \frac{100}{28} \rfloor = 3$個です。

* 包除原理を用いて、4または7で割り切れる整数の個数を計算します。これは、$25 + 14 - 3 = 36$個です。

(2) 4でも7でも割り切れない整数の個数

* 1から100までの整数の個数は100個です。

* 4または7で割り切れる整数の個数は(1)で求めたように36個です。

* したがって、4でも7でも割り切れない整数の個数は、$100 - 36 = 64$個です。

(3) 4で割り切れるが7で割り切れない整数の個数

* 4で割り切れる整数の個数は25個です。（(1)で求めた）

* 4で割り切れて、かつ7でも割り切れる整数の個数は3個です。（(1)で求めた）

* したがって、4で割り切れるが7で割り切れない整数の個数は、$25 - 3 = 22$個です。

(4) 4と7の少なくとも一方で割り切れない整数の個数

* これは(2)と同じ意味です。

4と7の少なくとも一方で割り切れない整数の個数は、4でも7でも割り切れない整数の個数と同じです。したがって、$100 - (4または7で割り切れる整数の個数) = 100 - 36 = 64$個です。

3. 最終的な答え

(1) 36個

(2) 64個

(3) 22個

(4) 64個