画像に含まれる問題のうち、以下の問題を解きます。 (2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ を計算せよ。

1. 問題の内容

画像に含まれる問題のうち、以下の問題を解きます。

(2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を計算します。各項の分母を有理化します。

まず、$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ を掛けます。

$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{15}-3}{5-3} = \frac{\sqrt{15}-3}{2}$$

次に、$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ を掛けます。

$$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{5+\sqrt{15}}{5-3} = \frac{5+\sqrt{15}}{2}$$

したがって、

$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15}-3}{2} + \frac{5+\sqrt{15}}{2} = \frac{\sqrt{15}-3+5+\sqrt{15}}{2} = \frac{2\sqrt{15}+2}{2} = \sqrt{15}+1$$

3. 最終的な答え

$\sqrt{15}+1$