初項2, 公差5の等差数列 $\{a_n\}$ と, 初項2, 公比3の等比数列 $\{b_n\}$ が与えられている。 $c_n = a_n b_n$, $T_n = \sum_{k=1}^n c_k$ とするとき, $T_n$ を求める問題である。ただし、空欄を埋める選択肢は ①n-2, ②n-1, ③n, ④n+1の中から選ぶ。

1. 問題の内容

初項2, 公差5の等差数列 $\{a_n\}$ と, 初項2, 公比3の等比数列 $\{b_n\}$ が与えられている。

$c_n = a_n b_n$, $T_n = \sum_{k=1}^n c_k$ とするとき, $T_n$ を求める問題である。ただし、空欄を埋める選択肢は ①n-2, ②n-1, ③n, ④n+1の中から選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、$a_n$ と $b_n$ を具体的に書く。

$a_n = 2 + (n-1)5 = 5n - 3$

$b_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

よって $c_n = a_n b_n = (5n-3) \cdot 2 \cdot 3^{n-1} = (10n - 6) 3^{n-1}$ となる。

$T_n = \sum_{k=1}^n (10k - 6) 3^{k-1}$

$T_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + \cdots + a_n b_n$

$T_n = (10(1)-6)3^0 + (10(2)-6)3^1 + (10(3)-6)3^2 + \cdots + (10n - 6) 3^{n-1}$

$T_n = 4 + 14 \cdot 3 + 24 \cdot 3^2 + \cdots + (10n-6) 3^{n-1}$

ここで、$3T_n$を計算する。

$3T_n = 4 \cdot 3 + 14 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3^3 + \cdots + (10n - 16) 3^{n-1} + (10n - 6) 3^n$

$(1-3) T_n = T_n - 3T_n$を計算する。

$-2 T_n = 4 + (14-4)3 + (24-14)3^2 + \cdots + (10n-6 - (10(n-1) - 6)) 3^{n-1} - (10n - 6) 3^n$

$-2 T_n = 4 + 10(3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1}) - (10n - 6) 3^n$

等比数列の和の公式より、

$3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} = \frac{3}{2} (3^{n-1} - 1)$

$-2 T_n = 4 + 10 \cdot \frac{3}{2} (3^{n-1} - 1) - (10n - 6) 3^n$

$-2 T_n = 4 + 15 (3^{n-1} - 1) - (10n - 6) 3^n$

$-2 T_n = 4 + 15 \cdot 3^{n-1} - 15 - (10n - 6) 3^n$

$-2 T_n = -11 + 15 \cdot 3^{n-1} - (10n - 6) 3^n$

$-2 T_n = -11 + 5 \cdot 3^n - (10n - 6) 3^n$

$-2 T_n = -11 + (5 - 10n + 6) 3^n$

$-2 T_n = -11 + (11 - 10n) 3^n$

$2 T_n = 11 + (10n - 11) 3^n$

$T_n = \frac{(10n-11)3^n + 11}{2}$

問題に当てはめると、

(1 - 3) $T_n = 4 + 10 (3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1}) - (10n - 6) 3^n$

$T_n = \frac{(10n-11)3^n + 11}{2}$

3. 最終的な答え

空欄は以下の通り。

10: 11

14: $n$

19: 11

したがって、

$T_n = \frac{(10n - 11) 3^n + 11}{2}$