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(1) $0 \le \theta < \pi$ のとき、$2\sin(\frac{\pi}{4} + \theta) = 1$ を満たす $\theta$ を求めよ。 (2) $0 \le \theta < \pi$ のとき、$2\cos(\frac{\pi}{4} + \theta) = -1$ を満たす $\theta$ を求めよ。 (3) $\cos \theta + \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) + \cos(\pi + \theta) + \sin(\frac{3}{2}\pi + \theta)$ を簡単にせよ。

解析学三角関数三角関数の加法定理三角関数の合成
2025/4/30

1. 問題の内容

(1) 0≤θ<π0 \le \theta < \pi のとき、2sin⁡(π4+θ)=12\sin(\frac{\pi}{4} + \theta) = 1 を満たす θ\theta を求めよ。
(2) 0≤θ<π0 \le \theta < \pi のとき、2cos⁡(π4+θ)=−12\cos(\frac{\pi}{4} + \theta) = -1 を満たす θ\theta を求めよ。
(3) cos⁡θ+sin⁡(π2−θ)+cos⁡(π+θ)+sin⁡(32π+θ)\cos \theta + \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) + \cos(\pi + \theta) + \sin(\frac{3}{2}\pi + \theta) を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

(1)
まず、式を変形して sin⁡(π4+θ)=12\sin(\frac{\pi}{4} + \theta) = \frac{1}{2} とする。
π4+θ=α\frac{\pi}{4} + \theta = \alpha とおくと、sin⁡α=12\sin \alpha = \frac{1}{2} となる。
0≤θ<π0 \le \theta < \pi より、π4≤π4+θ<5π4\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{4} + \theta < \frac{5\pi}{4} であるから、π4≤α<5π4\frac{\pi}{4} \le \alpha < \frac{5\pi}{4} となる。
sin⁡α=12\sin \alpha = \frac{1}{2} を満たす α\alpha は、α=5π6\alpha = \frac{5\pi}{6} であり、これは上記の範囲に含まれる。
π4+θ=5π6\frac{\pi}{4} + \theta = \frac{5\pi}{6} より、θ=5π6−π4=10π−3π12=7π12\theta = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{10\pi - 3\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} である。
(2)
まず、式を変形して cos⁡(π4+θ)=−12\cos(\frac{\pi}{4} + \theta) = -\frac{1}{2} とする。
π4+θ=α\frac{\pi}{4} + \theta = \alpha とおくと、cos⁡α=−12\cos \alpha = -\frac{1}{2} となる。
0≤θ<π0 \le \theta < \pi より、π4≤π4+θ<5π4\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{4} + \theta < \frac{5\pi}{4} であるから、π4≤α<5π4\frac{\pi}{4} \le \alpha < \frac{5\pi}{4} となる。
cos⁡α=−12\cos \alpha = -\frac{1}{2} を満たす α\alpha は、α=2π3\alpha = \frac{2\pi}{3} と α=4π3\alpha = \frac{4\pi}{3} である。
α=2π3\alpha = \frac{2\pi}{3} は上記の範囲に含まれるので、π4+θ=2π3\frac{\pi}{4} + \theta = \frac{2\pi}{3} より、θ=2π3−π4=8π−3π12=5π12\theta = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi - 3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} である。
α=4π3\alpha = \frac{4\pi}{3} は上記の範囲に含まれるので、π4+θ=4π3\frac{\pi}{4} + \theta = \frac{4\pi}{3} より、θ=4π3−π4=16π−3π12=13π12\theta = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{16\pi - 3\pi}{12} = \frac{13\pi}{12} である。
しかし、θ<π\theta < \pi であるため、θ=13π12\theta = \frac{13\pi}{12} は条件を満たさない。したがって、解は θ=5π12\theta = \frac{5\pi}{12} となる。
(3)
cos⁡θ+sin⁡(π2−θ)+cos⁡(π+θ)+sin⁡(32π+θ)\cos \theta + \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) + \cos(\pi + \theta) + \sin(\frac{3}{2}\pi + \theta)
三角関数の公式より、sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta、cos⁡(π+θ)=−cos⁡θ \cos(\pi + \theta) = -\cos \theta、sin⁡(3π2+θ)=−cos⁡θ \sin(\frac{3\pi}{2} + \theta) = -\cos \theta である。
したがって、与式は
cos⁡θ+cos⁡θ−cos⁡θ−cos⁡θ=0\cos \theta + \cos \theta - \cos \theta - \cos \theta = 0

3. 最終的な答え

(1) θ=7π12\theta = \frac{7\pi}{12}
(2) θ=5π12\theta = \frac{5\pi}{12}
(3) 0

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