(1) $0 \le \theta < \pi$ のとき、$2\sin(\frac{\pi}{4} + \theta) = 1$ を満たす $\theta$ を求めよ。 (2) $0 \le \theta < \pi$ のとき、$2\cos(\frac{\pi}{4} + \theta) = -1$ を満たす $\theta$ を求めよ。 (3) $\cos \theta + \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) + \cos(\pi + \theta) + \sin(\frac{3}{2}\pi + \theta)$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

(1) $0 \le \theta < \pi$ のとき、$2\sin(\frac{\pi}{4} + \theta) = 1$ を満たす $\theta$ を求めよ。

(2) $0 \le \theta < \pi$ のとき、$2\cos(\frac{\pi}{4} + \theta) = -1$ を満たす $\theta$ を求めよ。

(3) $\cos \theta + \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) + \cos(\pi + \theta) + \sin(\frac{3}{2}\pi + \theta)$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、式を変形して $\sin(\frac{\pi}{4} + \theta) = \frac{1}{2}$ とする。

$\frac{\pi}{4} + \theta = \alpha$ とおくと、$\sin \alpha = \frac{1}{2}$ となる。

$0 \le \theta < \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{4} + \theta < \frac{5\pi}{4}$ であるから、$\frac{\pi}{4} \le \alpha < \frac{5\pi}{4}$ となる。

$\sin \alpha = \frac{1}{2}$ を満たす $\alpha$ は、$\alpha = \frac{5\pi}{6}$ であり、これは上記の範囲に含まれる。

$\frac{\pi}{4} + \theta = \frac{5\pi}{6}$ より、$\theta = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{10\pi - 3\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$ である。

(2)

まず、式を変形して $\cos(\frac{\pi}{4} + \theta) = -\frac{1}{2}$ とする。

$\frac{\pi}{4} + \theta = \alpha$ とおくと、$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$ となる。

$0 \le \theta < \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{4} + \theta < \frac{5\pi}{4}$ であるから、$\frac{\pi}{4} \le \alpha < \frac{5\pi}{4}$ となる。

$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$ を満たす $\alpha$ は、$\alpha = \frac{2\pi}{3}$ と $\alpha = \frac{4\pi}{3}$ である。

$\alpha = \frac{2\pi}{3}$ は上記の範囲に含まれるので、$\frac{\pi}{4} + \theta = \frac{2\pi}{3}$ より、$\theta = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi - 3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$ である。

$\alpha = \frac{4\pi}{3}$ は上記の範囲に含まれるので、$\frac{\pi}{4} + \theta = \frac{4\pi}{3}$ より、$\theta = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{16\pi - 3\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$ である。

しかし、$\theta < \pi$ であるため、$\theta = \frac{13\pi}{12}$ は条件を満たさない。したがって、解は $\theta = \frac{5\pi}{12}$ となる。

(3)

$\cos \theta + \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) + \cos(\pi + \theta) + \sin(\frac{3}{2}\pi + \theta)$

三角関数の公式より、$\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$、$\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta$、$\sin(\frac{3\pi}{2} + \theta) = -\cos \theta$ である。

したがって、与式は

$\cos \theta + \cos \theta - \cos \theta - \cos \theta = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{7\pi}{12}$

(2) $\theta = \frac{5\pi}{12}$

(3) 0