はい、承知いたしました。画像に写っている3つの問題について、それぞれ解説と解答を示します。

はい、承知いたしました。画像に写っている3つの問題について、それぞれ解説と解答を示します。

##

1. 問題5

###

1. 問題の内容

$\pi \le \theta < \frac{3}{2}\pi$ かつ $\cos \theta = -\frac{4}{5}$のとき、以下の値を求めよ。

(1) $\sin \theta$

(2) $\sin 2\theta$

###

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta$ を求める。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という三角関数の基本公式を利用する。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{4}{5})^2$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{16}{25}$

$\sin^2 \theta = \frac{9}{25}$

$\sin \theta = \pm \frac{3}{5}$

$\pi \le \theta < \frac{3}{2}\pi$ より、$\theta$ は第3象限の角である。第3象限では、$\sin \theta < 0$ であるため、

$\sin \theta = -\frac{3}{5}$

(2) $\sin 2\theta$ を求める。

2倍角の公式 $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ を利用する。

$\sin 2\theta = 2 \times (-\frac{3}{5}) \times (-\frac{4}{5})$

$\sin 2\theta = \frac{24}{25}$

###

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta = -\frac{3}{5}$

(2) $\sin 2\theta = \frac{24}{25}$

##

2. 問題6

###

1. 問題の内容

$\tan \theta = 3$ のとき、$\cos^2 \theta$ の値を求めよ。

###

2. 解き方の手順

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ である。

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ という公式を利用する。

（または、$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を導出してもよい。）

$\frac{1}{\cos^2 \theta} = \tan^2 \theta + 1$

$\frac{1}{\cos^2 \theta} = 3^2 + 1$

$\frac{1}{\cos^2 \theta} = 10$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{10}$

###

3. 最終的な答え

$\cos^2 \theta = \frac{1}{10}$

##

3. 問題7

###

1. 問題の内容

$0 \le x \le 2\pi$ のとき、関数 $f(x) = \sqrt{3}\sin x + \cos x$ の最大値を求めよ。

###

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行う。

$f(x) = \sqrt{3}\sin x + \cos x = R\sin(x+\alpha)$ の形に変形する。

$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \alpha = \frac{1}{2}$ より、$\alpha = \frac{\pi}{6}$

よって、$f(x) = 2\sin(x+\frac{\pi}{6})$

$0 \le x \le 2\pi$ のとき、$\frac{\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{6} \le 2\pi + \frac{\pi}{6}$

$\sin(x+\frac{\pi}{6})$ の最大値は1である。（$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ のとき）

したがって、$f(x)$ の最大値は $2 \times 1 = 2$

###

3. 最終的な答え

最大値：2