曲線 $y = -x^2 + 1$ と直線 $x = 2$ および $x$軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。図から、求める面積は、$x$軸より上の部分と下の部分の2つに分かれていることがわかります。

はい、承知しました。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^2 + 1$ と直線 $x = 2$ および $x$軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。図から、求める面積は、$x$軸より上の部分と下の部分の2つに分かれていることがわかります。

2. 解き方の手順

まず、$y = -x^2 + 1$ と $x$ 軸との交点を求めます。

$y = 0$ とおくと、$-x^2 + 1 = 0$ となり、$x^2 = 1$ より、$x = \pm 1$ となります。

求める面積を $S$ とすると、$S$ は以下の2つの部分に分けて計算できます。

$S_1$: $x$軸より上の部分。積分範囲は $1$ から $2$ まで。

$S_2$: $x$軸より下の部分。積分範囲は $0$ から $1$ まで。

$S_1$ は、$\int_1^2 (-x^2 + 1) dx$ で計算できます。

$$$$

S_1 = \int_1^2 (-x^2 + 1) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + x \right]_1^2 = \left( -\frac{8}{3} + 2 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) = -\frac{8}{3} + 2 + \frac{1}{3} - 1 = -\frac{7}{3} + 1 = -\frac{4}{3}

$$$$

しかし、$S_1$は面積なので絶対値を取ります。$|S_1|=|-\frac{4}{3}| = \frac{4}{3}$。

$S_2$ は、$x$軸の下の部分なので、$-\int_0^1 (-x^2 + 1) dx$ で計算できます。

$$$$

S_2 = -\int_0^1 (-x^2 + 1) dx = - \left[ -\frac{1}{3}x^3 + x \right]_0^1 = -\left( -\frac{1}{3} + 1 \right) = -\frac{2}{3}

$$$$

しかし、$S_2$は面積なので絶対値を取ります。$|S_2|=|-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$。

したがって、求める面積 $S$ は、$S = |S_1| + |S_2| = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2$ となります。

3. 最終的な答え

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