研修会で、3つのセミナーP, Q, Rのうち1つ以上を受講することになっている。研修生は80人で、各セミナーの受講人数はPが36人、Qが28人、Rが33人だった。PとQの両方を受講した人が8人だったとき、Rだけを受講した人数を求める。

1. 問題の内容

研修会で、3つのセミナーP, Q, Rのうち1つ以上を受講することになっている。研修生は80人で、各セミナーの受講人数はPが36人、Qが28人、Rが33人だった。PとQの両方を受講した人が8人だったとき、Rだけを受講した人数を求める。

2. 解き方の手順

まず、セミナーPまたはQを受講した人の数を求める。これは、Pの受講者数とQの受講者数を足し、PとQの両方を受講した人数を引くことで求められる（包除原理）。

PまたはQを受講した人の数 = Pの受講者数 + Qの受講者数 - (PとQの両方を受講した人数)

$n(P \cup Q) = n(P) + n(Q) - n(P \cap Q)$

$n(P \cup Q) = 36 + 28 - 8 = 56$

次に、セミナーP, Q, Rのうち少なくとも1つを受講した人数は80人なので、P, Q, Rのいずれも受講しなかった人はいない。

PまたはQを受講した人の数は56人なので、Rを受講した人数は33人であることから、PまたはQを受講し、かつRも受講した人の数を求める。

$n(P \cup Q \cup R) = n(P) + n(Q) + n(R) - n(P \cap Q) - n(Q \cap R) - n(P \cap R) + n(P \cap Q \cap R)$

しかし、この式は直接的には使えない。

PまたはQを受講した人が56人、研修生全体が80人なので、Rのみを受講した人の数をxとすると、

P, Q, Rの少なくとも1つを受講した人数は、PまたはQを受講した人（56人）にRのみを受講した人（x人）とP,Qのどちらも受講せずにRのみを受講した人数を加えたものになる。P, Q, Rのうち少なくとも１つを受講した人が80人なので、

(PまたはQを受講した人数) + (Rのみを受講した人数) + (P,Qのどちらも受講せずRを受講した人数) = 80

$56 + x + (Rのみを受講した人数) = 80$

Rを受講した人の数は33人であり、このうちPまたはQを受講した人の数とRのみを受講した人の数を足すと33人になる。

Rを受講した人数 - (PまたはQを受講し、かつRを受講した人数) = Rのみを受講した人数

全体からPまたはQを受講した人の数を引くと、Rを受講したが、P,Qを受講しなかった人の数がわかる。

$80 - 56 = 24$

したがって、Rのみを受講した人は24人である。

3. 最終的な答え

24人