関数 $y = \sin{x} - \cos{x}$ ($0 \leq x < 2\pi$) の最大値と最小値を求め、それぞれの場合の $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin{x} - \cos{x}$ ($0 \leq x < 2\pi$) の最大値と最小値を求め、それぞれの場合の $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行います。

$y = \sin{x} - \cos{x}$ を変形します。

$y = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{x} - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos{x}\right)$

$y = \sqrt{2}\left(\sin{x}\cos{\frac{\pi}{4}} - \cos{x}\sin{\frac{\pi}{4}}\right)$

$y = \sqrt{2}\sin{\left(x - \frac{\pi}{4}\right)}$

$0 \leq x < 2\pi$ より、 $-\frac{\pi}{4} \leq x - \frac{\pi}{4} < 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$ です。

$\sin$ の最大値は 1, 最小値は -1 なので、

最大値をとるのは $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ のとき。 よって $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

このとき $y = \sqrt{2}\sin{\frac{\pi}{2}} = \sqrt{2}$

最小値をとるのは $x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ のとき。 よって $x = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$

このとき $y = \sqrt{2}\sin{\frac{3\pi}{2}} = -\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

最大値: $\sqrt{2}$ ($x = \frac{3\pi}{4}$ のとき)

最小値: $-\sqrt{2}$ ($x = \frac{7\pi}{4}$ のとき)