$x = -1$ で極大値 12 をとり、$x = 2$ で極小値 -15 をとる3次関数 $f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

$x = -1$ で極大値 12 をとり、$x = 2$ で極小値 -15 をとる3次関数 $f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

3次関数 $f(x)$ を $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ とおく。

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

$x = -1$ で極大値 12 をとるので、$f(-1) = 12$ かつ $f'(-1) = 0$。

$x = 2$ で極小値 -15 をとるので、$f(2) = -15$ かつ $f'(2) = 0$。

これらの条件から、以下の4つの式を得る。

1. $f(-1) = -a + b - c + d = 12$

2. $f(2) = 8a + 4b + 2c + d = -15$

3. $f'(-1) = 3a - 2b + c = 0$

4. $f'(2) = 12a + 4b + c = 0$

式3と式4の差をとると、$9a + 6b = 0$ より $b = -\frac{3}{2} a$。

これを式3に代入すると、$3a - 2(-\frac{3}{2} a) + c = 0$ より $3a + 3a + c = 0$。よって $c = -6a$。

$b = -\frac{3}{2} a$ と $c = -6a$ を式1と式2に代入すると、

1. $-a - \frac{3}{2} a - (-6a) + d = 12$ より $\frac{7}{2} a + d = 12$

2. $8a + 4(-\frac{3}{2} a) + 2(-6a) + d = -15$ より $-10a + d = -15$

上の2つの式を解く。$\frac{7}{2} a + d = 12$ から $d = 12 - \frac{7}{2} a$。

これを $-10a + d = -15$ に代入すると、$-10a + 12 - \frac{7}{2} a = -15$。

$-\frac{27}{2} a = -27$ より $a = 2$。

$b = -\frac{3}{2} a = -\frac{3}{2} (2) = -3$

$c = -6a = -6(2) = -12$

$d = 12 - \frac{7}{2} a = 12 - \frac{7}{2} (2) = 12 - 7 = 5$

したがって、$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$

3. 最終的な答え

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$