点P(x, y)が楕円 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 上を動くとき、$3x^2 - 16xy - 12y^2$ の値が最大になる点Pの座標を求める。

1. 問題の内容

点P(x, y)が楕円 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 上を動くとき、$3x^2 - 16xy - 12y^2$ の値が最大になる点Pの座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、楕円の式 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ を満たすx, yをパラメータ表示する。

$x = 2\cos\theta$ , $y = \sin\theta$ とおく。

次に、$3x^2 - 16xy - 12y^2$ に上記パラメータ表示を代入して、$\theta$ の関数として表す。

$3(2\cos\theta)^2 - 16(2\cos\theta)(\sin\theta) - 12(\sin\theta)^2$

$= 12\cos^2\theta - 32\cos\theta\sin\theta - 12\sin^2\theta$

$= 12(\cos^2\theta - \sin^2\theta) - 32\cos\theta\sin\theta$

$= 12\cos(2\theta) - 16(2\sin\theta\cos\theta)$

$= 12\cos(2\theta) - 16\sin(2\theta)$

ここで、$f(\theta) = 12\cos(2\theta) - 16\sin(2\theta)$ とおく。

$f(\theta)$ を合成して、$f(\theta) = A\cos(2\theta + \alpha)$ の形にする。

$A = \sqrt{12^2 + (-16)^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$

したがって、$f(\theta) = 20\cos(2\theta + \alpha)$ （ただし、$\cos\alpha = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$, $\sin\alpha = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$）

$f(\theta)$ が最大になるのは、$\cos(2\theta + \alpha) = 1$ のときである。

このとき、$f(\theta) = 20$ となり、最大値をとる。

$\cos(2\theta + \alpha) = 1$ より、$2\theta + \alpha = 2n\pi$ （nは整数）

$2\theta = -\alpha + 2n\pi$

$\theta = -\frac{\alpha}{2} + n\pi$

$\cos\alpha = \frac{3}{5}$、$\sin\alpha = \frac{4}{5}$を満たす$\alpha$に対して、$\sin\theta$と$\cos\theta$を計算する必要がある。

$\cos(2\theta) = \cos(-\alpha) = \cos\alpha = \frac{3}{5}$

$\sin(2\theta) = \sin(-\alpha) = -\sin\alpha = -\frac{4}{5}$

$\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$ より、$\frac{3}{5} = 2\cos^2\theta - 1$

$2\cos^2\theta = \frac{8}{5}$

$\cos^2\theta = \frac{4}{5}$

$\cos\theta = \pm\frac{2}{\sqrt{5}}$

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ より、$2\sin\theta\cos\theta = -\frac{4}{5}$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{2}{5}$

$\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ のとき、$\sin\theta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$

$\cos\theta = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ のとき、$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$

したがって、

$x = 2\cos\theta = 2(\pm\frac{2}{\sqrt{5}}) = \pm\frac{4}{\sqrt{5}}$

$y = \sin\theta = \mp\frac{1}{\sqrt{5}}$ (複合任意)

点Pの座標は $(\frac{4}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}})$ または $(-\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$ である。

3. 最終的な答え

$(\frac{4\sqrt{5}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5})$, $(-\frac{4\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$