与えられた二重積分 $\int_0^1 \int_1^2 xy \, dx \, dy$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた二重積分 $\int_0^1 \int_1^2 xy \, dx \, dy$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、内側の積分 $\int_1^2 xy \, dx$ を $x$ について計算します。$y$ は定数として扱います。

$\int_1^2 xy \, dx = y \int_1^2 x \, dx = y \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_1^2 = y \left( \frac{1}{2} (2^2) - \frac{1}{2} (1^2) \right) = y \left( 2 - \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{2} y$

次に、外側の積分 $\int_0^1 \frac{3}{2} y \, dy$ を $y$ について計算します。

$\int_0^1 \frac{3}{2} y \, dy = \frac{3}{2} \int_0^1 y \, dy = \frac{3}{2} \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_0^1 = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2} (1^2) - \frac{1}{2} (0^2) \right) = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$