与えられた二重積分 $\int_0^1 \left(\int_1^2 y dx \right)dy$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた二重積分 $\int_0^1 \left(\int_1^2 y dx \right)dy$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、内側の積分 $\int_1^2 y dx$ を計算します。$y$ は $x$ に関する積分では定数なので、

$$\int_1^2 y dx = y \int_1^2 dx = y [x]_1^2 = y(2-1) = y$$

次に、外側の積分 $\int_0^1 y dy$ を計算します。

$$\int_0^1 y dy = \left[\frac{1}{2}y^2\right]_0^1 = \frac{1}{2}(1^2 - 0^2) = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$