与えられた重積分 $\int_{0}^{3} \left( \int_{0}^{2} (x+y) dx \right) dy$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた重積分 $\int_{0}^{3} \left( \int_{0}^{2} (x+y) dx \right) dy$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、内側の積分 $\int_{0}^{2} (x+y) dx$ を計算します。$x$ で積分するとき、$y$ は定数として扱います。

$\int_{0}^{2} (x+y) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + yx \right]_{0}^{2} = \left( \frac{2^2}{2} + y(2) \right) - \left( \frac{0^2}{2} + y(0) \right) = 2 + 2y$

次に、外側の積分 $\int_{0}^{3} (2+2y) dy$ を計算します。

$\int_{0}^{3} (2+2y) dy = \left[ 2y + y^2 \right]_{0}^{3} = (2(3) + 3^2) - (2(0) + 0^2) = 6 + 9 = 15$

3. 最終的な答え

15