三角形ABCにおいて、辺AB上に点D, 辺BC上に点E, 辺CA上に点Fがあり、AD:DB = 2:1, BE:EC = 3:2, CF:FA = 4:1 である。 (i) $\frac{\triangle ADF}{\triangle ABC}$ と $\frac{\triangle BDE}{\triangle ABC}$ を求める。 (ii) $\triangle ABC : \triangle DEF$ を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺AB上に点D, 辺BC上に点E, 辺CA上に点Fがあり、AD:DB = 2:1, BE:EC = 3:2, CF:FA = 4:1 である。

(i) $\frac{\triangle ADF}{\triangle ABC}$ と $\frac{\triangle BDE}{\triangle ABC}$ を求める。

(ii) $\triangle ABC : \triangle DEF$ を求める。

2. 解き方の手順

(i)

$\triangle ADF$の面積は、$\triangle ABC$の面積を1としたとき、

$\triangle ADF = \frac{AD}{AB} \times \frac{AF}{AC} \times \triangle ABC$

となる。ここで、AD:DB = 2:1 より、AD/AB = 2/3。CF:FA = 4:1 より、AF/AC = 1/5。

よって、

$\frac{\triangle ADF}{\triangle ABC} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{2}{15}$

同様に、$\triangle BDE$の面積は、$\triangle ABC$の面積を1としたとき、

$\triangle BDE = \frac{BD}{BA} \times \frac{BE}{BC} \times \triangle ABC$

となる。ここで、AD:DB = 2:1 より、BD/BA = 1/3。BE:EC = 3:2 より、BE/BC = 3/5。

よって、

$\frac{\triangle BDE}{\triangle ABC} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$

(ii)

$\triangle ABC$の面積を1とすると、$\triangle ADF = \frac{2}{15}$, $\triangle BDE = \frac{1}{5}$。

同様に、$\triangle CEF$の面積は、$\triangle ABC$の面積を1としたとき、

$\triangle CEF = \frac{CE}{CB} \times \frac{CF}{CA} \times \triangle ABC$

となる。ここで、BE:EC = 3:2 より、CE/CB = 2/5。CF:FA = 4:1 より、CF/CA = 4/5。

よって、

$\frac{\triangle CEF}{\triangle ABC} = \frac{2}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{25}$

したがって、$\triangle DEF$の面積は、

$\triangle DEF = \triangle ABC - \triangle ADF - \triangle BDE - \triangle CEF = 1 - \frac{2}{15} - \frac{1}{5} - \frac{8}{25}$

$= 1 - \frac{10}{75} - \frac{15}{75} - \frac{24}{75} = 1 - \frac{49}{75} = \frac{26}{75}$

よって、$\triangle ABC : \triangle DEF = 1 : \frac{26}{75} = 75 : 26$

3. 最終的な答え

(i) $\frac{\triangle ADF}{\triangle ABC} = \frac{2}{15}$, $\frac{\triangle BDE}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$

(ii) $\triangle ABC : \triangle DEF = 75 : 26$