$\theta$ の動径が第4象限にあり、$\tan \theta = -\sqrt{7}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$ の動径が第4象限にあり、$\tan \theta = -\sqrt{7}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係 $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を利用して $\cos \theta$ を求めます。

$1 + \tan^2 \theta = 1 + (-\sqrt{7})^2 = 1 + 7 = 8$

$\frac{1}{\cos^2 \theta} = 8$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{8}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{8}} = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\theta$ は第4象限にあるので、$\cos \theta > 0$ であるから、

$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{4}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して $\sin \theta$ を求めます。

$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta = -\sqrt{7} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{14}}{4}$

$\theta$ は第4象限にあるので、$\sin \theta < 0$ となり、上記の $\sin \theta$ の値は条件を満たします。

3. 最終的な答え

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{14}}{4}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{4}$