座標空間内の3点A(2, 4, 0), B(1, 1, 1), C(a, b, c)が一直線上にある。さらに、点Cがzx平面上にあるとき、aとcの値を求める。

1. 問題の内容

座標空間内の3点A(2, 4, 0), B(1, 1, 1), C(a, b, c)が一直線上にある。さらに、点Cがzx平面上にあるとき、aとcの値を求める。

2. 解き方の手順

3点A, B, Cが一直線上にあるので、ベクトル$\overrightarrow{AC}$とベクトル$\overrightarrow{AB}$は平行である。したがって、実数$k$を用いて

$\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$

と表せる。

$\overrightarrow{AC} = (a-2, b-4, c-0) = (a-2, b-4, c)$

$\overrightarrow{AB} = (1-2, 1-4, 1-0) = (-1, -3, 1)$

よって、

$(a-2, b-4, c) = k(-1, -3, 1) = (-k, -3k, k)$

したがって、

$a-2 = -k$

$b-4 = -3k$

$c = k$

点C(a, b, c)がzx平面上にあるので、$b = 0$となる。

$0 - 4 = -3k$

$-4 = -3k$

$k = \frac{4}{3}$

したがって、$c = \frac{4}{3}$

$a - 2 = -\frac{4}{3}$

$a = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{2}{3}, c = \frac{4}{3}$