各辺の長さが1の平行六面体において、$\vec{a}=\overrightarrow{OA}, \vec{b}=\overrightarrow{OB}, \vec{c}=\overrightarrow{OC}, \angle AOB = \frac{\pi}{3}, \angle AOC = \angle BOC = \frac{\pi}{4}$ とする。 (1) 平行四辺形OAPBの面積を求めよ。 (2) 点Cから平行四辺形OAPBに下ろした垂線と平行四辺形OAPBとの交点をHとするとき、ベクトル$\overrightarrow{CH}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$の1次結合で表し、また$|\overrightarrow{CH}|$を求めよ。 (3) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を3辺とする平行六面体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

各辺の長さが1の平行六面体において、$\vec{a}=\overrightarrow{OA}, \vec{b}=\overrightarrow{OB}, \vec{c}=\overrightarrow{OC}, \angle AOB = \frac{\pi}{3}, \angle AOC = \angle BOC = \frac{\pi}{4}$ とする。

(1) 平行四辺形OAPBの面積を求めよ。

(2) 点Cから平行四辺形OAPBに下ろした垂線と平行四辺形OAPBとの交点をHとするとき、ベクトル$\overrightarrow{CH}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$の1次結合で表し、また$|\overrightarrow{CH}|$を求めよ。

(3) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を3辺とする平行六面体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 平行四辺形OAPBの面積は、 $|\vec{a} \times \vec{b}|$ で計算できる。

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \angle AOB = 1 \cdot 1 \cdot \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\overrightarrow{OH} = s\vec{a} + t\vec{b}$ とおける。$\overrightarrow{CH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OC} = s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}$

$\overrightarrow{CH} \perp \vec{a}, \overrightarrow{CH} \perp \vec{b}$ より、$\overrightarrow{CH} \cdot \vec{a} = 0, \overrightarrow{CH} \cdot \vec{b} = 0$

$(s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}) \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow s|\vec{a}|^2 + t(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$

$(s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}) \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow s(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t|\vec{b}|^2 - (\vec{c} \cdot \vec{b}) = 0$

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| |\vec{c}| \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$s + \frac{1}{2}t - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \Rightarrow 2s + t = \sqrt{2}$

$\frac{1}{2}s + t - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \Rightarrow s + 2t = \sqrt{2}$

$2s + t = \sqrt{2}$ と $s + 2t = \sqrt{2}$ より $s = t = \frac{\sqrt{2}}{3}$

$\overrightarrow{CH} = \frac{\sqrt{2}}{3}\vec{a} + \frac{\sqrt{2}}{3}\vec{b} - \vec{c}$

$|\overrightarrow{CH}|^2 = (\frac{\sqrt{2}}{3}\vec{a} + \frac{\sqrt{2}}{3}\vec{b} - \vec{c}) \cdot (\frac{\sqrt{2}}{3}\vec{a} + \frac{\sqrt{2}}{3}\vec{b} - \vec{c})$

$= \frac{2}{9} + \frac{2}{9} + 1 + 2 \cdot \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} + 1 + \frac{2}{9} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2+2+9+2-6-6}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$|\overrightarrow{CH}| = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(3) 平行六面体の体積は $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ で計算できる。

$\vec{b} \times \vec{c} = (|\vec{b}||\vec{c}| \sin \frac{\pi}{4})\vec{n} = \frac{\sqrt{2}}{2}\vec{n}$ （$\vec{n}$は$\vec{b}, \vec{c}$に垂直な単位ベクトル）

$|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = |\vec{a}| |\vec{b} \times \vec{c}| |\cos \theta| = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot |\cos \theta|$ ($\theta$は$\vec{a}$と$\vec{b} \times \vec{c}$のなす角)

体積 $V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 1 \end{array} \right| = \left| 1 (1 - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 1) + \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}) \right|$

$= | 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}| = |1 - \frac{3}{4}| = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$V^2= |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 + 2(\vec{a}\cdot \vec{b})(\vec{b}\cdot\vec{c})(\vec{c}\cdot\vec{a}) - |\vec{a}|^2(\vec{b}\cdot \vec{c})^2 - |\vec{b}|^2(\vec{c}\cdot\vec{a})^2 - |\vec{c}|^2(\vec{a}\cdot\vec{b})^2$

$V^2 = 1+ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{4+2-2-2-1}{4} = \frac{1}{4}$

$V = \frac{\sqrt{3}}{6}$

$V=\sqrt{1+2\frac{1}{2}\frac{\sqrt2}{2}\frac{\sqrt2}{2}-(\frac14+2\frac12) -(\frac12+1)}$

3. 最終的な答え

(1) 平行四辺形OAPBの面積: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\overrightarrow{CH} = \frac{\sqrt{2}}{3}\vec{a} + \frac{\sqrt{2}}{3}\vec{b} - \vec{c}$, $|\overrightarrow{CH}| = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(3) 平行六面体の体積: $\frac{\sqrt{3}}{6}$