縦の長さが$x$ m、横の長さが$y$ mの長方形の土地の周囲に、幅$a$ mの道がある。この道の面積を$S$ $m^2$、道の真ん中を通る線の長さを$l$ mとするとき、$S = al$となることを証明する。

1. 問題の内容

縦の長さが$x$ m、横の長さが$y$ mの長方形の土地の周囲に、幅$a$ mの道がある。この道の面積を$S$ $m^2$、道の真ん中を通る線の長さを$l$ mとするとき、$S = al$となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積$S$を計算する。

外側の長方形の縦の長さは$x+2a$ m、横の長さは$y+2a$ mである。

したがって、外側の長方形の面積は$(x+2a)(y+2a)$ $m^2$である。

内側の長方形の面積は$xy$ $m^2$である。

よって、道の面積$S$は、

$S = (x+2a)(y+2a) - xy$

$S = xy + 2ax + 2ay + 4a^2 - xy$

$S = 2ax + 2ay + 4a^2$

次に、道の真ん中を通る線の長さ$l$を計算する。

道の真ん中を通る長方形の縦の長さは$x+a$ m、横の長さは$y+a$ mである。

したがって、$l = 2(x+a) + 2(y+a)$

$l = 2x + 2a + 2y + 2a$

$l = 2x + 2y + 4a$

最後に、$al$を計算し、$S$と等しくなることを示す。

$al = a(2x + 2y + 4a)$

$al = 2ax + 2ay + 4a^2$

これは$S$と等しい。

よって、$S = al$が成り立つ。

3. 最終的な答え

$S = al$となることが証明された。