問題1は、立方体におけるベクトルの組が1次独立であるか、1次従属であるかを判断する問題です。 問題2は、空間ベクトルの外積を計算し、ベクトル三重積の恒等式を証明する問題です。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題1は、立方体におけるベクトルの組が1次独立であるか、1次従属であるかを判断する問題です。

問題2は、空間ベクトルの外積を計算し、ベクトル三重積の恒等式を証明する問題です。

2. 解き方の手順

問題1:

* {$\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$}：1次独立 (○)

* {$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AG}$}：1次独立 (○)

* {$\overrightarrow{AE}, \overrightarrow{HD}$}：$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{DH} = -\overrightarrow{HD}$ より、1次従属 (×)

* {$\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{FC}$}：$\overrightarrow{FC} = \overrightarrow{AD}$ より、1次従属 (×)

* {$\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BF}$}：3つのベクトルは互いに1次独立ではないため、1次従属 (×)

* {$\overrightarrow{EF}, \overrightarrow{EG}, \overrightarrow{EH}$}：3つのベクトルは互いに1次独立ではないため、1次独立 (○)

* {$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$}：$\overrightarrow{AB}$ が重複しているため、1次従属 (×)

* {$\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BG}, \overrightarrow{BH}$}：3つのベクトルは互いに1次独立ではないため、1次従属 (×)

* {$\overrightarrow{AG}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{BG}$}：3つのベクトルは互いに1次独立ではないため、1次従属 (×)

* {$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BF}, \overrightarrow{DG}$}：3つのベクトルは互いに1次独立ではないため、1次独立 (○)

問題2:

(1) $\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{c} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}$ のとき、

$\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = \begin{pmatrix} b_2c_3 - b_3c_2 \\ b_3c_1 - b_1c_3 \\ b_1c_2 - b_2c_1 \end{pmatrix}$

(2) $\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c}$ を示す。

まず、左辺を計算する。$\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ とすると、

$\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = \begin{pmatrix} a_2(b_1c_2 - b_2c_1) - a_3(b_3c_1 - b_1c_3) \\ a_3(b_2c_3 - b_3c_2) - a_1(b_1c_2 - b_2c_1) \\ a_1(b_3c_1 - b_1c_3) - a_2(b_2c_3 - b_3c_2) \end{pmatrix}$

次に、右辺を計算する。

$(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c} = (a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3)\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} - (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} (a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3)b_1 - (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)c_1 \\ (a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3)b_2 - (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)c_2 \\ (a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3)b_3 - (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)c_3 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} a_2b_1c_2 - a_2b_2c_1 - a_3b_3c_1 + a_3b_1c_3 \\ a_3b_2c_3 - a_3b_3c_2 - a_1b_1c_2 + a_1b_2c_1 \\ a_1b_3c_1 - a_1b_1c_3 - a_2b_2c_3 + a_2b_3c_2 \end{pmatrix}$

左辺と右辺の各成分を比較すると一致することがわかる。したがって、ベクトル三重積の公式が成立する。

3. 最終的な答え

問題1:

($\bigcirc$){$\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$}

($\bigcirc$){$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AG}$}

($\times$){$\overrightarrow{AE}, \overrightarrow{HD}$}

($\times$){$\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{FC}$}

($\times$){$\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BF}$}

($\times$){$\overrightarrow{EF}, \overrightarrow{EG}, \overrightarrow{EH}$}

($\times$){$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$}

($\times$){$\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BG}, \overrightarrow{BH}$}

($\times$){$\overrightarrow{AG}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{BG}$}

($\bigcirc$){$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BF}, \overrightarrow{DG}$}

問題2:

(1) $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = \begin{pmatrix} b_2c_3 - b_3c_2 \\ b_3c_1 - b_1c_3 \\ b_1c_2 - b_2c_1 \end{pmatrix}$

(2) $\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c}$ が成立する。