各辺の長さが1の平行六面体があり、$\vec{a} = \overrightarrow{OA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$, $\vec{c} = \overrightarrow{OC}$, $\angle AOB = \frac{\pi}{3}$, $\angle AOC = \angle BOC = \frac{\pi}{4}$ とする。 (1) 平行四辺形 $OAPB$ の面積を求める。 (2) 点 $C$ から平行四辺形 $OAPB$ に下ろした垂線と平行四辺形 $OAPB$ との交点を $H$ とするとき、ベクトル $\overrightarrow{CH}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ の1次結合で表し、さらに $|\overrightarrow{CH}|$ を求める。 (3) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を3辺とする平行六面体の体積を求める。

1. 問題の内容

各辺の長さが1の平行六面体があり、$\vec{a} = \overrightarrow{OA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$, $\vec{c} = \overrightarrow{OC}$, $\angle AOB = \frac{\pi}{3}$, $\angle AOC = \angle BOC = \frac{\pi}{4}$ とする。

(1) 平行四辺形 $OAPB$ の面積を求める。

(2) 点 $C$ から平行四辺形 $OAPB$ に下ろした垂線と平行四辺形 $OAPB$ との交点を $H$ とするとき、ベクトル $\overrightarrow{CH}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ の1次結合で表し、さらに $|\overrightarrow{CH}|$ を求める。

(3) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を3辺とする平行六面体の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平行四辺形 $OAPB$ の面積は $|\vec{a} \times \vec{b}|$ で求められる。

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin{\angle AOB} = 1 \cdot 1 \cdot \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) まず、$\vec{c} - \overrightarrow{OH}$ は平面 $OAPB$ に垂直であるから、$(\vec{c} - \overrightarrow{OH}) \cdot \vec{a} = 0$ かつ $(\vec{c} - \overrightarrow{OH}) \cdot \vec{b} = 0$ である。ここで、$\overrightarrow{OH} = s\vec{a} + t\vec{b}$ とすると、

$(\vec{c} - s\vec{a} - t\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$

$(\vec{c} - s\vec{a} - t\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$

これより、

$\vec{c}\cdot\vec{a} - s|\vec{a}|^2 - t\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$

$\vec{c}\cdot\vec{b} - s\vec{b}\cdot\vec{a} - t|\vec{b}|^2 = 0$

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ であり、

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\frac{\pi}{3}} = 1\cdot 1\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\vec{a}\cdot\vec{c} = |\vec{a}||\vec{c}|\cos{\frac{\pi}{4}} = 1\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\vec{b}\cdot\vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos{\frac{\pi}{4}} = 1\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

なので、

$\frac{\sqrt{2}}{2} - s - \frac{1}{2}t = 0$

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}s - t = 0$

これを解いて、$s = t = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\overrightarrow{OH} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\vec{a} + \frac{2\sqrt{2}}{3}\vec{b}$

$\overrightarrow{CH} = \overrightarrow{OH} - \vec{c} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\vec{a} + \frac{2\sqrt{2}}{3}\vec{b} - \vec{c}$

$|\overrightarrow{CH}|^2 = (\frac{2\sqrt{2}}{3}\vec{a} + \frac{2\sqrt{2}}{3}\vec{b} - \vec{c}) \cdot (\frac{2\sqrt{2}}{3}\vec{a} + \frac{2\sqrt{2}}{3}\vec{b} - \vec{c})$

$= \frac{8}{9}|\vec{a}|^2 + \frac{8}{9}|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\cdot \frac{8}{9}\vec{a}\cdot\vec{b} - 2\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}\vec{a}\cdot\vec{c} - 2\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}\vec{b}\cdot\vec{c}$

$= \frac{8}{9} + \frac{8}{9} + 1 + \frac{16}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= \frac{16}{9} + 1 + \frac{8}{9} - \frac{4}{3} - \frac{4}{3} = \frac{24}{9} + 1 - \frac{8}{3} = \frac{8}{3} + 1 - \frac{8}{3} = 1$

$|\overrightarrow{CH}| = \sqrt{1} = 1$

(3) 平行六面体の体積は $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ で求められる。

$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = |\vec{a}||\vec{b} \times \vec{c}|\cos{\theta}$ であり、$\vec{b} \times \vec{c}$ は $\vec{b}, \vec{c}$ のなす平面に垂直であり、$\theta$ は $\vec{a}$ と $\vec{b} \times \vec{c}$ のなす角である。 $|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b}||\vec{c}|\sin{\frac{\pi}{4}} = 1\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

体積 $V = |\vec{a}\cdot (\vec{b}\times\vec{c})| = |\vec{a}||\vec{b}\times\vec{c}|\cos \theta = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \theta$

ここで、$|\overrightarrow{CH}| = 1$ なので、四面体の高さは1。従って、

$V = \vec{c}\cdot(\vec{a}\times \vec{b}) = (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}$

$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot \vec{c} = (\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot h$, $h=\sqrt{1-(\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 -(\frac{2\sqrt{2}}{3})^2} = \sqrt{1-\frac{8}{9}} - \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{1}{3}$

$|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \frac{1}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) 平行四辺形 $OAPB$ の面積: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\overrightarrow{CH} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\vec{a} + \frac{2\sqrt{2}}{3}\vec{b} - \vec{c}$, $|\overrightarrow{CH}| = 1$

(3) 平行六面体の体積: $\frac{1}{3}$