## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は2つの部分に分かれています。

1. 立方体 $ABCD-EFGH$ において、与えられたベクトルの組が1次独立か1次従属かを判断し、それぞれ○または×をカッコ内に入れる。

2. 空間ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}, \vec{c} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答える。

(1) $\vec{b} \times \vec{c}$ を求める。

(2) $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ が成立することを示す。

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2. 解き方の手順

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1. 1次独立性・1次従属性の判断

* 1次独立：ベクトルの組の任意のベクトルが、他のベクトルの線形結合で表せない。

* 1次従属：ベクトルの組の中に、他のベクトルの線形結合で表せるベクトルが存在する。

立方体の図を参考に、各ベクトルの関係性を考える。

* $\{\vec{AC}, \vec{AD}\}$: 1次独立。平面上の異なる方向を向いている。

* $\{\vec{AB}, \vec{AG}\}$: 1次独立。

* $\{\vec{AE}, \vec{HD}\}$: 1次従属。$\vec{HD} = \vec{AE}$

* $\{\vec{AD}, \vec{FC}\}$: 1次従属。$\vec{FC} = \vec{AD}$

* $\{\vec{BC}, \vec{BA}, \vec{BF}\}$: 1次独立。空間内の異なる方向を向いている。

* $\{\vec{EF}, \vec{EG}, \vec{EH}\}$: 1次独立。空間内の異なる方向を向いている。

* $\{\vec{AB}, \vec{AB}, \vec{AC}\}$: 1次従属。$\vec{AB}$が重複している。

* $\{\vec{BD}, \vec{BG}, \vec{BH}\}$: 1次独立。空間内の異なる方向を向いている。

* $\{\vec{AG}, \vec{EF}, \vec{BG}\}$: 1次独立。空間内の異なる方向を向いている。

* $\{\vec{AB}, \vec{BF}, \vec{DG}\}$: 1次独立。空間内の異なる方向を向いている。

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2. 空間ベクトルに関する問題

**(1) $\vec{b} \times \vec{c}$ の計算**

ベクトル $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$ と $\vec{c} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}$ の外積 $\vec{b} \times \vec{c}$ は以下の式で計算される。

$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} b_2c_3 - b_3c_2 \\ b_3c_1 - b_1c_3 \\ b_1c_2 - b_2c_1 \end{pmatrix}$

**(2) $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ の証明**

まず、左辺 $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ を計算する。$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} b_2c_3 - b_3c_2 \\ b_3c_1 - b_1c_3 \\ b_1c_2 - b_2c_1 \end{pmatrix}$ を代入する。

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{pmatrix} a_2(b_1c_2 - b_2c_1) - a_3(b_3c_1 - b_1c_3) \\ a_3(b_2c_3 - b_3c_2) - a_1(b_1c_2 - b_2c_1) \\ a_1(b_3c_1 - b_1c_3) - a_2(b_2c_3 - b_3c_2) \end{pmatrix}$

次に、右辺 $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ を計算する。

$\vec{a} \cdot \vec{c} = a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = (a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3)\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} - (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} (a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3)b_1 - (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)c_1 \\ (a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3)b_2 - (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)c_2 \\ (a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3)b_3 - (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)c_3 \end{pmatrix}$

各成分を整理すると、

$= \begin{pmatrix} a_2b_1c_2 + a_3b_1c_3 - a_2b_2c_1 - a_3b_3c_1 \\ a_1b_2c_1 + a_3b_2c_3 - a_1b_1c_2 - a_3b_3c_2 \\ a_1b_3c_1 + a_2b_3c_2 - a_1b_1c_3 - a_2b_2c_3 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} a_2(b_1c_2 - b_2c_1) - a_3(b_3c_1 - b_1c_3) \\ a_3(b_2c_3 - b_3c_2) - a_1(b_1c_2 - b_2c_1) \\ a_1(b_3c_1 - b_1c_3) - a_2(b_2c_3 - b_3c_2) \end{pmatrix}$

これは、左辺 $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ の計算結果と一致する。したがって、$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ が成立する。

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3. 最終的な答え

### 1次独立性・1次従属性

* $(\bigcirc)\{\vec{AC}, \vec{AD}\}$

* $(\bigcirc)\{\vec{AB}, \vec{AG}\}$

* $(\times)\{\vec{AE}, \vec{HD}\}$

* $(\times)\{\vec{AD}, \vec{FC}\}$

* $(\bigcirc)\{\vec{BC}, \vec{BA}, \vec{BF}\}$

* $(\bigcirc)\{\vec{EF}, \vec{EG}, \vec{EH}\}$

* $(\times)\{\vec{AB}, \vec{AB}, \vec{AC}\}$

* $(\bigcirc)\{\vec{BD}, \vec{BG}, \vec{BH}\}$

* $(\bigcirc)\{\vec{AG}, \vec{EF}, \vec{BG}\}$

* $(\bigcirc)\{\vec{AB}, \vec{BF}, \vec{DG}\}$

### 空間ベクトルに関する問題

**(1) $\vec{b} \times \vec{c}$**

$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} b_2c_3 - b_3c_2 \\ b_3c_1 - b_1c_3 \\ b_1c_2 - b_2c_1 \end{pmatrix}$

**(2) $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ の証明**

証明は上記参照。