問題1は、立方体 $ABCDEFGH$ において、与えられたベクトルの組が1次独立か1次従属かを判定する問題です。 問題2は、ベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ が与えられたとき、ベクトル積 $\vec{b} \times \vec{c}$ を計算し、$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ が成立することを示す問題です。

1. 問題の内容

問題1は、立方体 $ABCDEFGH$ において、与えられたベクトルの組が1次独立か1次従属かを判定する問題です。

問題2は、ベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ が与えられたとき、ベクトル積 $\vec{b} \times \vec{c}$ を計算し、$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ が成立することを示す問題です。

2. 解き方の手順

問題1:

立方体の辺の長さを1とする。

- $\vec{AC}$ と $\vec{AD}$ は1次独立。なぜなら、$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ と $\vec{AD}$ は異なる方向を向いているため、一方を他方で表すことはできない。

- $\vec{AB}$ と $\vec{AG}$ は1次独立。なぜなら、$\vec{AB}$と$\vec{AG}$は異なる方向を向いており、一方が他方のスカラー倍で表せない。

- $\vec{AE}$ と $\vec{HD}$ は1次独立。なぜなら、$\vec{AE}$と$\vec{HD}$は異なる方向を向いており、一方が他方のスカラー倍で表せない。

- $\vec{AD}$ と $\vec{FC}$ は1次従属。なぜなら、$\vec{AD} = \vec{BC}$かつ$\vec{FC} = \vec{BC}$なので、$\vec{AD} = \vec{FC}$。

- $\vec{BC}, \vec{BA}, \vec{BF}$ は1次独立。これらは互いに直交する方向を向いているため、線形結合で他のベクトルを表すことはできない。

- $\vec{EF}, \vec{EG}, \vec{EH}$ は1次独立。これらは互いに直交する方向を向いているため、線形結合で他のベクトルを表すことはできない。

- $\vec{AB}, \vec{AB}, \vec{AC}$ は1次従属。なぜなら、$\vec{AB}$が2回出現しているから。

- $\vec{BD}, \vec{BG}, \vec{BH}$ は1次独立。

- $\vec{AG}, \vec{EF}, \vec{BG}$ は1次独立。

- $\vec{AB}, \vec{BF}, \vec{DG}$ は1次独立。

問題2:(1)

$\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}, \vec{c} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}$ に対して、$\vec{b} \times \vec{c}$ は以下の通り計算できます。

$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} b_2 c_3 - b_3 c_2 \\ b_3 c_1 - b_1 c_3 \\ b_1 c_2 - b_2 c_1 \end{pmatrix}$

問題2:(2)

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ を示す。

$\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$とする。

$\vec{a} \cdot \vec{c} = a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} = (a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3) \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$

$(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3) \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}$

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$を計算する。

$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} b_2 c_3 - b_3 c_2 \\ b_3 c_1 - b_1 c_3 \\ b_1 c_2 - b_2 c_1 \end{pmatrix}$

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{pmatrix} a_2 (b_1 c_2 - b_2 c_1) - a_3 (b_3 c_1 - b_1 c_3) \\ a_3 (b_2 c_3 - b_3 c_2) - a_1 (b_1 c_2 - b_2 c_1) \\ a_1 (b_3 c_1 - b_1 c_3) - a_2 (b_2 c_3 - b_3 c_2) \end{pmatrix}$

$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \begin{pmatrix} (a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3)b_1 - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)c_1 \\ (a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3)b_2 - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)c_2 \\ (a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3)b_3 - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)c_3 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} a_2 b_1 c_2 + a_3 b_1 c_3 - a_2 b_2 c_1 - a_3 b_3 c_1 \\ a_1 b_2 c_1 + a_3 b_2 c_3 - a_1 b_1 c_2 - a_3 b_3 c_2 \\ a_1 b_3 c_1 + a_2 b_3 c_2 - a_1 b_1 c_3 - a_2 b_2 c_3 \end{pmatrix}$

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$と$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$の各成分を比較すると、等しいことがわかる。

3. 最終的な答え

問題1:

($\bigcirc$) {AC, AD}

($\bigcirc$) {AB, AG}

($\bigcirc$) {AE, HD}

($\times$) {AD, FC}

($\bigcirc$) {BC, BA, BF}

($\bigcirc$) {EF, EG, EH}

($\times$) {AB, AB, AC}

($\bigcirc$) {BD, BG, BH}

($\bigcirc$) {AG, EF, BG}

($\bigcirc$) {AB, BF, DG}

問題2:(1)

$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} b_2 c_3 - b_3 c_2 \\ b_3 c_1 - b_1 c_3 \\ b_1 c_2 - b_2 c_1 \end{pmatrix}$

問題2:(2)

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ が成立する。