座標平面上の円 $x^2 + y^2 - 4ax - 2ay + 20a - 25 = 0$ に関する問題です。 - 円が $a$ の値に関わらず通る2定点AとBを求める。 - 円の中心の軌跡を求める。 - 円の半径が最小となるときの $a$ の値と、そのときの半径を求める。 - 三角形ABPが直角三角形となるときの、円の中心Pのy座標を求める。

1. 問題の内容

座標平面上の円 $x^2 + y^2 - 4ax - 2ay + 20a - 25 = 0$ に関する問題です。

- 円が $a$ の値に関わらず通る2定点AとBを求める。

- 円の中心の軌跡を求める。

- 円の半径が最小となるときの $a$ の値と、そのときの半径を求める。

- 三角形ABPが直角三角形となるときの、円の中心Pのy座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた円の方程式を平方完成します。

$x^2 - 4ax + y^2 - 2ay + 20a - 25 = 0$

$(x^2 - 4ax + 4a^2) + (y^2 - 2ay + a^2) - 4a^2 - a^2 + 20a - 25 = 0$

$(x - 2a)^2 + (y - a)^2 = 5a^2 - 20a + 25$

円①の中心は $(2a, a)$ であり、半径は $\sqrt{5a^2 - 20a + 25} = \sqrt{5(a-2)^2 + 5}$ です。

(1) 円が $a$ の値に関わらず通る2定点を求めます。

円の方程式を $a$ について整理します。

$x^2 + y^2 - 25 - a(4x + 2y - 20) = 0$

この式が $a$ の値に関わらず成り立つためには、

$x^2 + y^2 - 25 = 0$ かつ $4x + 2y - 20 = 0$ が成り立つ必要があります。

つまり $2x + y - 10 = 0$ より $y = 10 - 2x$ です。

$x^2 + (10 - 2x)^2 - 25 = 0$

$x^2 + 100 - 40x + 4x^2 - 25 = 0$

$5x^2 - 40x + 75 = 0$

$x^2 - 8x + 15 = 0$

$(x - 3)(x - 5) = 0$

$x = 3, 5$

$x = 3$ のとき $y = 10 - 2(3) = 4$

$x = 5$ のとき $y = 10 - 2(5) = 0$

よって、2定点A, Bは A(3, 4), B(5, 0) です。

$3 < 5$ なのでこれで良いです。

(2) 円の中心の軌跡を求めます。

円の中心は $(2a, a)$ なので、$x = 2a$, $y = a$ となります。

$a = y$ を $x = 2a$ に代入すると、$x = 2y$

よって、軌跡は直線 $x - 2y = 0$ です。

(3) 円の半径が最小となるときの $a$ の値と、そのときの半径を求めます。

半径は $\sqrt{5(a - 2)^2 + 5}$ です。

$a = 2$ のとき最小値 $\sqrt{5}$ をとります。

(4) 三角形ABPが直角三角形となるのは、点Pのy座標がいくつのときか求めます。

A(3, 4), B(5, 0), P(2a, a)

$\vec{AP} = (2a - 3, a - 4)$

$\vec{BP} = (2a - 5, a)$

$\vec{AB} = (2, -4)$

(i) $\angle APB = 90^\circ$ のとき $\vec{AP} \cdot \vec{BP} = 0$

$(2a - 3)(2a - 5) + (a - 4)a = 0$

$4a^2 - 16a + 15 + a^2 - 4a = 0$

$5a^2 - 20a + 15 = 0$

$a^2 - 4a + 3 = 0$

$(a - 1)(a - 3) = 0$

$a = 1, 3$

$a = 1$ のとき Pのy座標は 1

$a = 3$ のとき Pのy座標は 3

(ii) $\angle PAB = 90^\circ$ のとき $\vec{AP} \cdot \vec{AB} = 0$

$(2a - 3)(2) + (a - 4)(-4) = 0$

$4a - 6 - 4a + 16 = 0$

$10 = 0$

これはありえないので、解なし

(iii) $\angle PBA = 90^\circ$ のとき $\vec{BP} \cdot \vec{BA} = 0$

$\vec{BA} = (-2, 4)$

$(2a - 5)(-2) + a(4) = 0$

$-4a + 10 + 4a = 0$

$10 = 0$

これも解なし

したがって、点Pのy座標は 1または 3 です。$1 < 3$ なのでそれで良いです。

3. 最終的な答え

ア: 3, イ: 4, ウ: 5, エ: 0, オ: 2, カ: 2, キ: 5, ク: 1, ケ: 3