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## 問題の回答

幾何学ベクトル一次独立一次従属空間ベクトル外積内積立方体
2025/6/19
## 問題の回答
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1. 問題の内容

問題は2つあります。

1. 立方体 $ABCDEFGH$ において、与えられたベクトルの組が1次独立か1次従属かを判定する。

2. 空間ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}, \vec{c} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問いに答える。

* (1) b⃗×c⃗\vec{b} \times \vec{c} を求める。
* (2) a⃗×(b⃗×c⃗)=(a⃗⋅c⃗)b⃗−(a⃗⋅b⃗)c⃗\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} が成立することを示す。
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2. 解き方の手順

#### 問題1
1次独立: ベクトルの組の線形結合がゼロベクトルになるのが、すべての係数がゼロの場合のみ。
1次従属: ベクトルの組の線形結合がゼロベクトルになるのが、係数に少なくとも1つゼロでないものが存在する場合。
立方体の辺の長さを1とする。
AB⃗=a⃗\vec{AB} = \vec{a}, AD⃗=b⃗\vec{AD} = \vec{b}, AE⃗=c⃗\vec{AE} = \vec{c} とおく。
a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} は1次独立である。
* {AC⃗,AD⃗}={a⃗+b⃗,b⃗}\{\vec{AC}, \vec{AD}\} = \{\vec{a}+\vec{b}, \vec{b}\} : 1次独立 (○)
* {AB⃗,AG⃗}={a⃗,a⃗+b⃗+c⃗}\{\vec{AB}, \vec{AG}\} = \{\vec{a}, \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\} : 1次独立 (○)
* {AE⃗,HD⃗}={c⃗,b⃗}\{\vec{AE}, \vec{HD}\} = \{\vec{c}, \vec{b}\} : 1次独立 (○)
* {AD⃗,FC⃗}={b⃗,c⃗}\{\vec{AD}, \vec{FC}\} = \{\vec{b}, \vec{c}\} : 1次独立 (○)
* {BC⃗,BA⃗,BF⃗}={b⃗,−a⃗,c⃗}\{\vec{BC}, \vec{BA}, \vec{BF}\} = \{\vec{b}, -\vec{a}, \vec{c}\} : 1次独立 (○)
* {EF⃗,EG⃗,EH⃗}={a⃗,b⃗,c⃗}\{\vec{EF}, \vec{EG}, \vec{EH}\} = \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\} : 1次独立 (○)
* {AB⃗,AB⃗,AC⃗}={a⃗,a⃗,a⃗+b⃗}\{\vec{AB}, \vec{AB}, \vec{AC}\} = \{\vec{a}, \vec{a}, \vec{a}+\vec{b}\} : 1次従属 (×)
* {BD⃗,BG⃗,BH⃗}={b⃗−a⃗,a⃗+c⃗,b⃗+c⃗}\{\vec{BD}, \vec{BG}, \vec{BH}\} = \{\vec{b}-\vec{a}, \vec{a}+\vec{c}, \vec{b}+\vec{c}\} : 1次独立 (○)
* {AG⃗,EF⃗,BG⃗}={a⃗+b⃗+c⃗,a⃗,b⃗+c⃗}\{\vec{AG}, \vec{EF}, \vec{BG}\} = \{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}+\vec{c}\} : 1次従属 (×) なぜなら(a⃗+b⃗+c⃗)−a⃗−(b⃗+c⃗)=0⃗(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) - \vec{a} - (\vec{b}+\vec{c}) = \vec{0}
* {AB⃗,BF⃗,DG⃗}={a⃗,c⃗,−a⃗+c⃗}\{\vec{AB}, \vec{BF}, \vec{DG}\} = \{\vec{a}, \vec{c}, -\vec{a}+\vec{c}\} : 1次従属 (×) なぜなら−a⃗+c⃗−(−a⃗+c⃗)=0⃗-\vec{a} + \vec{c} - (-\vec{a}+\vec{c}) = \vec{0}
#### 問題2
(1) b⃗×c⃗\vec{b} \times \vec{c} を求める。
b⃗×c⃗=(b2c3−b3c2b3c1−b1c3b1c2−b2c1)\vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} b_2c_3 - b_3c_2 \\ b_3c_1 - b_1c_3 \\ b_1c_2 - b_2c_1 \end{pmatrix}
(2) a⃗×(b⃗×c⃗)=(a⃗⋅c⃗)b⃗−(a⃗⋅b⃗)c⃗\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} が成立することを示す。
まず、左辺を計算する。
a⃗×(b⃗×c⃗)=(a1a2a3)×(b2c3−b3c2b3c1−b1c3b1c2−b2c1)=(a2(b1c2−b2c1)−a3(b3c1−b1c3)a3(b2c3−b3c2)−a1(b1c2−b2c1)a1(b3c1−b1c3)−a2(b2c3−b3c2))=(a2b1c2−a2b2c1−a3b3c1+a3b1c3a3b2c3−a3b3c2−a1b1c2+a1b2c1a1b3c1−a1b1c3−a2b2c3+a2b3c2)\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_2c_3 - b_3c_2 \\ b_3c_1 - b_1c_3 \\ b_1c_2 - b_2c_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2(b_1c_2 - b_2c_1) - a_3(b_3c_1 - b_1c_3) \\ a_3(b_2c_3 - b_3c_2) - a_1(b_1c_2 - b_2c_1) \\ a_1(b_3c_1 - b_1c_3) - a_2(b_2c_3 - b_3c_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_1c_2 - a_2b_2c_1 - a_3b_3c_1 + a_3b_1c_3 \\ a_3b_2c_3 - a_3b_3c_2 - a_1b_1c_2 + a_1b_2c_1 \\ a_1b_3c_1 - a_1b_1c_3 - a_2b_2c_3 + a_2b_3c_2 \end{pmatrix}
次に、右辺を計算する。
(a⃗⋅c⃗)b⃗−(a⃗⋅b⃗)c⃗=(a1c1+a2c2+a3c3)(b1b2b3)−(a1b1+a2b2+a3b3)(c1c2c3)=(a1c1b1+a2c2b1+a3c3b1−a1b1c1−a2b2c1−a3b3c1a1c1b2+a2c2b2+a3c3b2−a1b1c2−a2b2c2−a3b3c2a1c1b3+a2c2b3+a3c3b3−a1b1c3−a2b2c3−a3b3c3)=(a2c2b1+a3c3b1−a2b2c1−a3b3c1a1c1b2+a3c3b2−a1b1c2−a3b3c2a1c1b3+a2c2b3−a1b1c3−a2b2c3)(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = (a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3)\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} - (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1c_1b_1 + a_2c_2b_1 + a_3c_3b_1 - a_1b_1c_1 - a_2b_2c_1 - a_3b_3c_1 \\ a_1c_1b_2 + a_2c_2b_2 + a_3c_3b_2 - a_1b_1c_2 - a_2b_2c_2 - a_3b_3c_2 \\ a_1c_1b_3 + a_2c_2b_3 + a_3c_3b_3 - a_1b_1c_3 - a_2b_2c_3 - a_3b_3c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2c_2b_1 + a_3c_3b_1 - a_2b_2c_1 - a_3b_3c_1 \\ a_1c_1b_2 + a_3c_3b_2 - a_1b_1c_2 - a_3b_3c_2 \\ a_1c_1b_3 + a_2c_2b_3 - a_1b_1c_3 - a_2b_2c_3 \end{pmatrix}
2つの結果を比較すると、確かに等しいことがわかる。
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3. 最終的な答え

#### 問題1
(○) {AC⃗,AD⃗}\{\vec{AC}, \vec{AD}\}
(○) {AB⃗,AG⃗}\{\vec{AB}, \vec{AG}\}
(○) {AE⃗,HD⃗}\{\vec{AE}, \vec{HD}\}
(○) {AD⃗,FC⃗}\{\vec{AD}, \vec{FC}\}
(○) {BC⃗,BA⃗,BF⃗}\{\vec{BC}, \vec{BA}, \vec{BF}\}
(○) {EF⃗,EG⃗,EH⃗}\{\vec{EF}, \vec{EG}, \vec{EH}\}
(×) {AB⃗,AB⃗,AC⃗}\{\vec{AB}, \vec{AB}, \vec{AC}\}
(○) {BD⃗,BG⃗,BH⃗}\{\vec{BD}, \vec{BG}, \vec{BH}\}
(×) {AG⃗,EF⃗,BG⃗}\{\vec{AG}, \vec{EF}, \vec{BG}\}
(×) {AB⃗,BF⃗,DG⃗}\{\vec{AB}, \vec{BF}, \vec{DG}\}
#### 問題2
(1) b⃗×c⃗=(b2c3−b3c2b3c1−b1c3b1c2−b2c1)\vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} b_2c_3 - b_3c_2 \\ b_3c_1 - b_1c_3 \\ b_1c_2 - b_2c_1 \end{pmatrix}
(2) a⃗×(b⃗×c⃗)=(a⃗⋅c⃗)b⃗−(a⃗⋅b⃗)c⃗\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} が成立する (証明は上記参照)。

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