一辺の長さが $p$ m の正方形の土地の周囲に、幅が $a$ m の道があります。道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ m とするとき、$S = al$ となることを証明する問題です。

1. 問題の内容

一辺の長さが $p$ m の正方形の土地の周囲に、幅が $a$ m の道があります。道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ m とするとき、$S = al$ となることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 道の面積 $S$ を $a$ と $p$ を使って表します。

道の部分は、半径 $a$ m、中心角90°のおうぎ形4つと、2辺の長さが $a$ m、$p$ m の長方形4つに分けることができます。

したがって、道の面積 $S$ は、

$S = \pi a^2 + 4ap$ ...(1)

(2) 道の真ん中を通る線の長さ $l$ を $a$ と $p$ を使って表します。

道の真ん中を通る線の長さ $l$ は、

$l = 2\pi \times \frac{a}{4} \times 4 + 4p = 2\pi a \times \frac{1}{2} + 4p = \pi a + 4p$

この式の両辺に $a$ をかけると、

$al = a(\pi a + 4p) = \pi a^2 + 4ap$ ...(2)

(3) (1)と(2)より、$S$ と $al$ が同じ式で表されることを示します。

(1)と(2)より、$S = \pi a^2 + 4ap$、$al = \pi a^2 + 4ap$

したがって、$S = al$ となります。

3. 最終的な答え

$S = al$ であることが証明されました。