二等辺三角形ABCの中に長方形DEFGが内接している。BC=12, AH=10, EF=xとする。 (1) 長方形DEFGの面積をxで表せ。 (2) 長方形DEFGの面積の最大値と、そのときのxの値を求めよ。

1. 問題の内容

二等辺三角形ABCの中に長方形DEFGが内接している。BC=12, AH=10, EF=xとする。

(1) 長方形DEFGの面積をxで表せ。

(2) 長方形DEFGの面積の最大値と、そのときのxの値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 長方形DEFGの面積をxで表す。

三角形ABCと三角形ADGは相似である。AH = 10, EF = x より、AG = 10 - xである。

三角形の相似より、$BC:AH = DG:AG$ が成り立つ。

$12 : 10 = DG : (10 - x)$

$DG = \frac{12}{10}(10 - x) = \frac{6}{5}(10 - x)$

長方形DEFGの面積Sは、$S = DG \times EF$ なので、

$S = \frac{6}{5}(10 - x)x = \frac{6}{5}(10x - x^2)$

(2) 長方形DEFGの面積の最大値を求める。

$S = \frac{6}{5}(10x - x^2)$ を平方完成する。

$S = \frac{6}{5}(-x^2 + 10x) = \frac{6}{5}(-(x^2 - 10x))$

$S = \frac{6}{5}(-(x^2 - 10x + 25 - 25)) = \frac{6}{5}(-(x - 5)^2 + 25)$

$S = \frac{6}{5}(-(x - 5)^2 + 25) = -\frac{6}{5}(x - 5)^2 + \frac{6}{5} \times 25$

$S = -\frac{6}{5}(x - 5)^2 + 30$

したがって、Sが最大になるのは、$x=5$ のときで、その最大値は30である。

3. 最終的な答え

(1) 長方形DEFGの面積: $S = \frac{6}{5}(10x - x^2)$

(2) 面積の最大値: 30, そのときのxの値: 5