双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ の漸近線 $y=x$ 上の点 $P_0(a_0, a_0)$ （ただし $a_0 > 0$） を通る双曲線の接線を考え、接点を $Q_1$ とする。$Q_1$ を通り漸近線 $y=x$ と垂直に交わる直線と、漸近線 $y=x$ との交点を $P_1(a_1, a_1)$ とする。次に $P_1$ を通る双曲線 の接線の接点を $Q_2$、$Q_2$ を通り漸近線 $y=x$ と垂直に交わる直線と、漸近線 $y=x$ との交点を $P_2(a_2, a_2)$ とする。この手続きを繰り返して同様にして点 $P_n(a_n, a_n)$、$Q_n$ を定義していく。 (1) $Q_n$ の座標を $a_n$ を用いて表せ。 (2) $a_n$ を $a_0$ を用いて表せ。 (3) $\triangle P_n Q_n P_{n-1}$ の面積を求めよ。

1. 問題の内容

双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ の漸近線 $y=x$ 上の点 $P_0(a_0, a_0)$ （ただし $a_0 > 0$） を通る双曲線の接線を考え、接点を $Q_1$ とする。$Q_1$ を通り漸近線 $y=x$ と垂直に交わる直線と、漸近線 $y=x$ との交点を $P_1(a_1, a_1)$ とする。次に $P_1$ を通る双曲線 の接線の接点を $Q_2$、$Q_2$ を通り漸近線 $y=x$ と垂直に交わる直線と、漸近線 $y=x$ との交点を $P_2(a_2, a_2)$ とする。この手続きを繰り返して同様にして点 $P_n(a_n, a_n)$、$Q_n$ を定義していく。

(1) $Q_n$ の座標を $a_n$ を用いて表せ。

(2) $a_n$ を $a_0$ を用いて表せ。

(3) $\triangle P_n Q_n P_{n-1}$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

双曲線 $x^2-y^2=1$ 上の点 $Q_n(x_n, y_n)$ における接線は $x_n x - y_n y = 1$ である。この接線が $P_n(a_n, a_n)$ を通るので、 $x_n a_n - y_n a_n = 1$。

したがって、 $a_n (x_n - y_n) = 1$ より、 $x_n - y_n = \frac{1}{a_n}$。

また、$Q_n(x_n, y_n)$ は双曲線上の点なので、$x_n^2 - y_n^2 = 1$。

よって、 $(x_n - y_n)(x_n + y_n) = 1$ より、 $\frac{1}{a_n}(x_n + y_n) = 1$。

したがって、$x_n + y_n = a_n$。

$x_n - y_n = \frac{1}{a_n}$ と $x_n + y_n = a_n$ より、

$2x_n = a_n + \frac{1}{a_n}$、 $2y_n = a_n - \frac{1}{a_n}$。

よって、$x_n = \frac{a_n}{2} + \frac{1}{2a_n}$、$y_n = \frac{a_n}{2} - \frac{1}{2a_n}$。

したがって、$Q_n\left(\frac{a_n}{2} + \frac{1}{2a_n}, \frac{a_n}{2} - \frac{1}{2a_n}\right)$。

(2)

$Q_n$ を通り、傾き -1 の直線は $y - (\frac{a_n}{2} - \frac{1}{2a_n}) = -(x - (\frac{a_n}{2} + \frac{1}{2a_n}))$

$y = -x + a_n$。

この直線と $y=x$ の交点が $P_{n+1}(a_{n+1}, a_{n+1})$ なので、

$a_{n+1} = -a_{n+1} + a_n$。

したがって、$2a_{n+1} = a_n$、 $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n$。

よって、$a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n a_0$。

(3)

$\triangle P_n Q_n P_{n-1}$ の面積は、

$P_n(a_n, a_n)$、$Q_n(\frac{a_n}{2}+\frac{1}{2a_n}, \frac{a_n}{2}-\frac{1}{2a_n})$、$P_{n-1}(a_{n-1}, a_{n-1})$ を用いて、

$\frac{1}{2} \left| a_n(\frac{a_n}{2} - \frac{1}{2a_n} - a_{n-1}) + (\frac{a_n}{2} + \frac{1}{2a_n})(a_{n-1} - a_n) + a_{n-1}(a_n - (\frac{a_n}{2} - \frac{1}{2a_n})) \right|$

$= \frac{1}{2} \left| \frac{a_n^2}{2} - \frac{1}{2} - a_n a_{n-1} + \frac{a_n a_{n-1}}{2} - \frac{a_n^2}{2} + \frac{a_{n-1}a_n}{2} - \frac{a_{n-1}a_n}{2} + \frac{a_{n-1}}{2} + \frac{a_{n-1}}{2a_n} \right|$

$= \frac{1}{2} \left| -\frac{1}{2} + \frac{a_{n-1}}{2a_n} \right|$

$= \frac{1}{2} \left| -\frac{1}{2} + \frac{2a_n}{2a_n} \right|$

$= \frac{1}{2} \left| \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{4}$。

3. 最終的な答え

(1) $Q_n\left(\frac{a_n}{2} + \frac{1}{2a_n}, \frac{a_n}{2} - \frac{1}{2a_n}\right)$

(2) $a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n a_0$

(3) $\frac{1}{4}$