一辺の長さが $p$ mの正方形の土地の周りに、幅が $a$ mの道がある。道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ mとするとき、$S = al$ となることを証明する。

1. 問題の内容

一辺の長さが $p$ mの正方形の土地の周りに、幅が $a$ mの道がある。道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ mとするとき、$S = al$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を求める。外側の正方形の一辺の長さは $p + 2a$ であり、4つの角にある扇形を合わせると半径 $a$ の円になる。したがって、道の面積 $S$ は、

$S = (p+2a)^2 - p^2 + \pi a^2 - \pi a^2 = (p+2a)^2 - p^2$

と表すことができる。

$S = (p^2 + 4ap + 4a^2) - p^2 = 4ap + 4a^2$

次に、道の真ん中を通る線の長さ $l$ を求める。道の真ん中を通る線は、各辺の中央を通る正方形と、4つの角の扇形の弧で構成される。この正方形の一辺の長さは $p+a$であり、4つの角の扇形の弧を合わせると半径 $a$ の円周になる。したがって、

$l = 4(p+a) + 2\pi \frac{a}{4}\times 4 = 4(p+a) + 2\pi a=4p+4a$

ではない。 正方形部分の長さは $p+a$で、円の部分の長さは $2\pi (a/4) \cdot 4 = 2\pi a$だから。

道の真ん中を通る線の長さlは正方形の各辺の中央の線分と、扇形の中心を通る円弧の和である。したがって、

$l = 4(p+a) = 4p + 4a$

$al = a(4p + 4a) = 4ap + 4a^2$

したがって、$S = al$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$S = (p+2a)^2 - p^2 = 4ap + 4a^2$

$l = 4(p+a) = 4p + 4a$

$al = a(4p + 4a) = 4ap + 4a^2$

ゆえに、$S = al$ である。