ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。 (1) $|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{2}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2}$ の場合 (2) $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -\sqrt{3}$ の場合

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。

(1) $|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{2}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2}$ の場合

(2) $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -\sqrt{3}$ の場合

2. 解き方の手順

ベクトルの内積の定義式 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ を利用します。

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ より、$\cos \theta$ を計算し、$\theta$ を求めます。

(1) の場合

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、$\theta = \frac{\pi}{4}$ （または $45^\circ$）

(2) の場合

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-\sqrt{3}}{1 \cdot 2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$\theta = \frac{5\pi}{6}$ （または $150^\circ$）

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}$

(2) $\theta = \frac{5\pi}{6}$